Formulieren Sie mit Hilfe der Kongruenzrechnung zwei Endstellenregeln (Basis 10 und 8).

Question

Aufgabe:

Formulieren Sie mit Hilfe der Kongruenzrechnung zwei Endstellenregeln zur Teilbarkeit durch 4.Eine Regel für das Rechnen im Stellenwertsystemen zur Basis 10 und eine für das Rechnen im Stellenwertsystem zur Basis 8. Beweisen Sie diese Regeln.


Ansatz/Problem:

Die Endstellenregel besagt doch, dass eine Zahl dann durch 4 teilbar ist, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind, oder? Aber was hat das mit der Basis 10 und der Basis 8 zu tun? Ist es nicht eigentlich egal, mit welcher Basis ich rechne? Das ändert doch nur, wie die Zahlen im Stellenwertsxstem dargestellt werden, oder?

Comments

In Basis 8 ist eine Zahl genau dann durch 4 teilbar wenn die letzte Ziffer 0 oder 4 ist.

Eine Zahl im 8-System ist von der Form:

$$a_n\cdot 8^n+a_{n-1}\cdot 8^{n-1} + \ldots + a_1\cdot 8 + a_0$$ wobei die $$a_i \in \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$$

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Ist das dann zur Basis 10 nicht genau so, nur dass die letzte Ziffer 0, 4 oder 8 sein kann?

 

Und eine Zahl zur Basis 10 sieht dann folgendermaßen aus:

a_n • 10ⁿ + a_n-1 • 10^n-1 + ... + a₁ • 10 + a₀

mit a_i ∈ ℕ, richtig?

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14 ist ein Gegenbeispiel.

Der wesentliche Punkt ist, dass 8 durch 4 teilbar ist 10 aber nicht.

 

Und deine Darstellung zur Basis 10 ist falsch: Die a_i    dürfen nur je eine der 10 Standardziffern sein.

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Also müsste cih es auf die letzten beiden Ziffern erweitern.

Eine Zahl zur Basis 10 ist dann durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern ein Vielfaches der 4 darstellen.

 

Und bei meiner Darstellung müsste ich die Menge ändern, aus der die a_i kommen können.

a_i ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

 

Ist es so besser?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Formulieren und Beweisen der Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 4

Die Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 4 besagt, dass eine Zahl durch 4 teilbar ist, wenn die letzten zwei Ziffern dieser Zahl durch 4 teilbar sind. Wir wollen dies nun für die Basen 10 und 8 formulieren und beweisen.

Teilbarkeit durch 4 im Dezimalsystem (Basis 10)

Regel

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern dieser Zahl, wenn als zweistellige Zahl betrachtet, durch 4 teilbar sind.

Beweis

Betrachte eine Zahl \( N \) im Dezimalsystem, geschrieben als \( N = d_k d_{k-1} \dots d_2 d_1 d_0 \), wobei \( d_i \) die Ziffern der Zahl darstellen.

Wir können \( N \) als Summe schreiben:
\( N = \sum_{i=0}^{k} d_i \cdot 10^i \)

Für die Teilbarkeit durch 4 interessiert uns, ob \( N \mod 4 = 0 \).

Beachten wir, dass \( 10 \equiv 2 \pmod{4} \) ist.

Also:
\( 10^2 \equiv 0 \pmod{4}, 10^3 \equiv 0 \pmod{4}, \dots, 10^k \equiv 0 \pmod{4} \text{ für } k \geq 2 \)

Daraus folgt:
\( N \equiv d_1 \cdot 10 + d_0 \pmod{4} \)

Da \( 10 \equiv 2 \pmod{4} \), ist:
\( 10 \times d_1 \equiv 2 \times d_1 \pmod{4} \)

Daher:
\( N \equiv 2d_1 + d_0 \pmod{4} \)

Wenn die letzten zwei Ziffern der Zahl \( x = 10 \cdot d_1 + d_0 \) als zweistellige Zahl durch 4 teilbar sind:
\( x \mod 4 = 0 \)

Dann ist:
\( 2d_1 + d_0 \equiv 0 \pmod{4} \)

Also ist die gesamte Zahl \( N \) durch 4 teilbar.

Teilbarkeit durch 4 im Oktalsystem (Basis 8)

Regel

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzte Ziffer dieser Zahl (im Oktalsystem) durch 4 teilbar ist.

Beweis

Betrachte eine Zahl \( N \) im Oktalsystem, geschrieben als \( N = d_k d_{k-1} \dots d_2 d_1 d_0 \), wobei \( d_i \) die Ziffern der Zahl darstellen.

Wir können \( N \) als Summe schreiben:
\( N = \sum_{i=0}^{k} d_i \cdot 8^i \)

Für die Teilbarkeit durch 4 interessiert uns, ob \( N \mod 4 = 0 \).

Beachten wir, dass \( 8 \equiv 0 \pmod{4} \) ist.

Also:
\( 8^i \equiv 0 \pmod{4} \text{ für } i \geq 1 \)

Daraus folgt:
\( N \equiv d_0 \pmod{4} \)

Wenn die letzte Ziffer der Zahl \( d_0 \) durch 4 teilbar ist:
\( d_0 \mod 4 = 0 \)

Dann ist:
\( N \equiv d_0 \equiv 0 \pmod{4} \)

Also ist die gesamte Zahl \( N \) durch 4 teilbar.