Matrix mit Variablen, Inverse bestimmen

Question

Aufgabe:

Seien x, y ∈ ℝ mit x²+y² ≠ 0 und sei
$$ A=\left(\begin{array}{lll} {1} & {0} & {x} \\ {0} & {1} & {y} \\ {x} & {y} & {0} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie A^-1

HINWEIS: Die Abkürzung r²:=x²+y² ist geschickt, und das Ergebnis lässt sich besonders hübsch in der Form

$$A^{-1}=\frac{1}{r^{2}}(\cdots)$$ angeben.

Problem/Ansatz:

Da ich mit Matrizen so meine Probleme habe, komme ich hier leider nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir helfen !

Comments

Hallo

 du löst das GS zur Bestimmung der Inversen, wie  mit Zahlen, jetzt halt mit Buchstaben.

Aufgaben zu Matrizen erfordern eben Umgang mit Gleichungssystemen, das muss man einfach üben, dann verschwinden die Probleme.

Gruß lul

Answer 1

Hallo CrazyX,

mache es so, wie in der Antwort von Tschaka zu dieser Frage. In Deinem Fall: $$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{lll} {1} & {0} & {x} \\ {0} & {1} & {y} \\ {x} & {y} & {0} \end{array}\right) &&\begin{pmatrix}{1} & {0} & 0 \\ {0} & {1} & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} &&\begin{array}{} \\ \\ -x\cdot Z1 - y\cdot Z2 \end{array}\\ &\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {x} \\ {0} & {1} & {y} \\ 0& 0& -(x^2 + y^2) \end{array}\right) &&\begin{pmatrix}{1} & {0} & 0 \\ {0} & {1} & 0 \\ -x& -y& 1 \end{pmatrix} &&\begin{array}{} \\ \\ \div -r^2 \end{array}\\ &\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {x} \\ {0} & {1} & {y} \\ 0& 0& 1 \end{array}\right) &&\begin{pmatrix}{1} & {0} & 0 \\ {0} & {1} & 0 \\ x/r^2& y/r^2& -1/r^2 \end{pmatrix} &&\begin{array}{} - x \cdot Z3\\ -y \cdot Z3 \\ \space \end{array}\\ &\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & 0 \\ {0} & {1} & 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right) &&\begin{pmatrix}{1-x^2/r^2} & -xy/r^2 & x/r^2 \\ -xy/r^2 & 1-y^2/r^2 & y/r^2 \\ x/r^2& y/r^2& -1/r^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Das \(1/r^2\) kannst Du nach vorne raus ziehen dann vereinfacht sich das zu$$A^{-1} = \frac 1{r^2}\begin{pmatrix} y^2& -xy& x\\ -xy& x^2& y\\ x& y& -1 \end{pmatrix}$$