Abbildungsmatrix und Homomorphismus

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 5-6 \) Punkte Zeigen Sie, dass die Abbildung
$$ \varphi:\left(\mathbf{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow \mathrm{G} \mathrm{I}_{2}(\mathbb{R}) \quad \text { mit } \quad \varphi(a+b i)=\left(\begin{array}{rr} {a} & {-b} \\ {b} & {a} \end{array}\right) $$
ein Gruppenhomomorphismus ist. Entscheiden Sie ob \( \varphi \) injektiv oder surjoktiv ist! Bogründen Sie Ihre Antworten!

Aufyabo \( 6-6 \) Punkte Die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) ist bexiiglich der Standardbasis \( B \) durch \( M_{B}^{B}(\varphi)=\left(\begin{array}{cc}{1} & {4} \\ {2} & {1}\end{array}\right) \) gegeben. Geben Sie die Abbildungsmatrix \( M_{V^{\prime}}^{N^{\prime}}(\varphi) \) bezdglich der Basis \( B^{\prime}=\left(\left(\begin{array}{c}{3} \\ {5}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{2} \\ {3}\end{array}\right)\right) \) an!
Aufyabo \( 7-8=2+2+2+2 \) Punkte Wir betrachten die Matrix \( A=\left(\begin{array}{cc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \text { Q). Diese Matrix } A \) definiert eine
lineare Abbildung \( \varphi_{A}: \operatorname{Mat}(2 \times 2, Q) \rightarrow \operatorname{Mat}(2 \times 2, Q) \) durch \( \varphi_{A}(B)=A \cdot B \)
(i) Geben Sie die Abbildungsmatrix von \( \varphi_{A} \) bezilglich der Basis \( B=\left(\left(\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\right) \) von \( \operatorname{Mat}(2 \times 2, Q) \) anl
(ii) Berechnen Sie die Determinante von \( \varphi_{A} \)
(iii) Berechnen Sie die Determinante von \( \varphi_{A} \) als Funktion von det \( (A) \)
(iv) Beweisen Sie \( \varphi_{A} \) ist ein Isomorphismus \( \Leftrightarrow \operatorname{det}(\Lambda) ungleich  0 \)

Problem/Ansatz:

ich habe Probleme bei Aufgabe 5 und 7. Ich weiß wie man Homomorphismus beweist, aber bei komplexen Zahlen komme ich immer ins Schwanken, Bei 7 weiß ich nicht wie ich A mit B darstellen soll, muss ich A einfach mit jeder Basismatrix B multiplizieren ? Wie sieht dann die Abbildungsmatrix aus und was ist mit Determinante von Phi A als Funktion von det(A) gemeint. Für eine Lösung mit Erklärung wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Aufg. 5 Du musst nur zeigen:

Für alle u,v ∈ C* gilt  φ( u*v) =  φ(u)  *  φ(v)

wobei * links die Multiplikation in C und rechts in der Matrizengruppe

bedeutet.

Für u=a+bi und v= c+di hast du

u*v =  ac-bd  + (ad+bc) * i

also   φ( u*v) =      ac-bd            -(ad+bc)
                             ad+bc                ac-bd

Und jetzt vergleichen mit  φ(u)  *  φ(v)  =

$$ \left(\begin{array}{rr} {a} & {-b} \\ {b} & {a} \end{array}\right) *\left(\begin{array}{rr} {c} & {-d} \\ {d} & {c} \end{array}\right) $$

Das gibt das gleiche Ergebnis, also alles klar !

7) Für die Matrix der Abbildung musst du das Bild jedes Basisvektors bestimmen,

und dieses mit der gegebenen Basis darstellen. Wenn ich die Basisvektoren (also die 4 Matrizen)

mal B1 B2 B3 B4 nenne ist das Bild

von B1 ja   a   0      = a *B1 + 0*B2 + c*B3 + 0*B4 
                  c   0

also ist die erste Spalte der Matrix

a   ?     ?     ?
0   ?     ?     ?
c   ?     ?     ?
0   ?     ?     ?

und die Fragezeichen entsprechend mit den Bildern

der anderen 3 Basisvektoren.

Comments

entschuldige die späte Rückmeldung,  danke für die Lösung :)

Könntest du mir noch erklären was mit Aufgabe  (iii) gemeint ist .

Die Determinante von

a   0    b    0

0    a   0    b

c    0    d   0

0   c      0   d

kann ich ja mit Laplace machen das ist ja erstmal kein Problem.

Aber was ist mit Funktion von der gemeint