Inverse Matrix mit Variable

Question

Überprüfen Sie, welche t (ℝ) die Matrix invertierbar ist und geben sie die inverse Matrix an.

(1-t²) soll das sein

1-t(2)	2
3	4

Jetzt ist die inverse Form 

1	0
0	1

Prinzipiell kann ich eine inverse Matrix erstellen, aber die Variable irritiert mich. Ich hab schon was gerechnet, aber das ist wahrscheinlich falsch. Mein Gedanke: Ich nehme mal an, da wo eine Null sein muss (erste Spalte, zweite Reihe [3]) kommt natürlich ein Term mit t raus, da ich ja beide Gleichungen miteinander multipliziere&addiere. Danach muss ich gucken wann dieser Term dann Null ist, weil nur dann ist die Gleichung lösbar.

Gruß

Answer 1

[1 - t^2, 2, 1, 0]
[3, 4, 0, 1]

2*I - II, 3*I - (1 - t^2)*II

[- 2·t^2 - 1, 0, 2, -1]
[0, 4·t^2 + 2, 3, t^2 - 1]

Normieren

[1, 0, - 2/(2·t^2 + 1), 1/(2·t^2 + 1)]
[0, 1, 3/(2·(2·t^2 + 1)), (t^2 - 1)/(2·(2·t^2 + 1))]

Damit lautet de Inverse

[- 2/(2·t^2 + 1), 1/(2·t^2 + 1);
3/(2·(2·t^2 + 1)), (t^2 - 1)/(2·(2·t^2 + 1))]

Keine Inverse gibt es für 2·t^2 + 1 = 0. Damit sollte die Matrix für alle t invertierbar sein.

Comments

Danke vorweg! beim Nachrechnen eine Zwischenfrage

2* (1-t² ) ist doch 2-2t² oder nicht? Du hast da 2-t² raus. Muss nicht der ganze Term *2 ?

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2* (1-t² ) ist 2-2t² 

Das ist soweit richtig. Wenn ich dann noch die II Gleichung subtrahiere komme ich auf

-2t^2 - 1

Das ist das was ich heraus habe.

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Danke, jetzt versteh ich's besser. Fandest du die Aufgabe schwer? Vielleicht hat unser Lehrer wieder eine Aufgabe für sein Niveau gemacht. 

Und wie kann ich bestimmen, wann eine Matrix invertierbar ist? Was hat es mit dieser Bedingung auf sich (2·t² + 1 = 0)? 

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Ob ich die Aufgabe schwer fand ist ja nicht so von belang. Ich kann recht gut mit Termen rechnen. Leute die das nicht können für die ist das sehr schwer.

In der Determinante steht das (2t^2 + 1) unter dem Bruchstrich. Das darf aber nicht Null sein. Das Teilen durch Null ist ja nicht erlaubt. Glücklicherweise ist 2t^2 + 1 immer >= 1 und damit nie Null.

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Eine Matrix ist genau dann nicht invertierbar, wenn ihre Determinante 0 ist.

Hier (1-t^2)  * 4 - 6 = 0

4 - 4t^2 - 6 = 0

-2 = 2t^2
-1 = t^2

hat keine reelle Lösung.

Deshalb ist diese Matrix für beliebige t invertierbar.