Analysis : Konvergenzradius der Potenzreihe berechnen

Question

Aufgabe:

(a) Berechnen Sie jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihen \( 1+x+x^{4}+x^{9}+x^{16}+\cdots \) und \( \sum \limits_{j=1}^{\infty}(1-1 / j)^{(j)}\left(x^{2}\right)^{j} . \) (Sie sind noch in die Form \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \) zu bringen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man ein Konvergenzradius wie folgt berechnen kann : 1/ lim sup|an|

Aber ich weiß nicht wie ich die Frage in einer Summen Schreibweise schreiben soll und wie ich überhaupt anfange. ist sitze jetzt schon das ganze Wochenende dran aber ich komme nicht auf eine Lösung

Also 1. wie schreibe ich die Filge 1+x+.. in einer Summenschreibweise

2. wie soll ich denn jetzt den Konvergenzradius aus der jeweiligen Summe ( beide Summen) den herusfinden

Answer 1

Ich weiß, dass man ein Konvergenzradius wie folgt berechnen kann : 1/ lim sup|an|

Fehlt da nicht die n-te Wurzel ???

wie schreibe ich die Folge 1+x+.. in einer Summenschreibweise ?

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}1*x^{n^2}$$

und die Folge der  $$\sqrt[n]{|a_{n}|}$$

ist also eine Folge von lauter 0en und 1en , hat somit den

lim sup = 1.

Comments

Ja da fehlte die Wurzel,

Aber schön und gut hab jetzt die Folge an Also

1/1 = 1 Konvergenzradius

Und die 2 Folge ?

Wie kriege ich die den in die Form (s.Aufgabenstellung)

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$$\sum \limits_{j=1}^{\infty} (1-\frac{1}{j})^j   *x^{2j}$$

Dann besteht die Folge \( a_{j} \) aus einer Teilfolge von  \(  (1-\frac{1}{j})^{j}  \),

und zwar nur aus denen mit geradem Index (>0) und die anderen sind 0en.

Die mit dem positiven Index sind selber alle positiv, also machen die

0en für den lim sup nichts aus und die Teilfolge konvergiert gegen den

Grenzwert der Folge  \(  (1-\frac{1}{j})^{j}  \) und der ist 1/e.