Hallo,
HINWEIS: Ich habe für f(x) g(x) und h(x) zur Vereinfachung y gesetzt:
c)
\( \begin{array}{ll}{y=} & {\ln \left(e^{5 x}+1\right), \quad z=e^{5 x}+1} \\ {y=} & {\ln (z) \quad \quad \frac{d z}{d x}=5 e^{5 x}} \\ {\frac{d y}{d z}} & {=\frac{1}{z}} \\ {y^{\prime}=} & {\frac{1}{z} \cdot 5 e^{5 x}} \\ {y^{\prime}=} & {\frac{5 e^{5 x}}{e^{5 x}+1}}\end{array} \)
a)
\( y=\sqrt{x^{4}+3 x}-6 \)
\( y_{1}=\sqrt{x^{4}+3 x}=\left(x^{4}+3 x\right)^{\frac{1}{2}} \)
\( y_{1}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(x^{4}+3 x\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot\left(4 x^{3}+3\right) \quad \) Kettenregel !
\( y_{2}=6 \)
\( y_{2}^{\prime}=0 \)
\( y^{\prime}=y_{1}^{\prime}-y_{2}^{\prime} \)
\( y^{\prime}=\frac{4 x^{3}+3}{2 \sqrt{x^{4}+3 x}} \)
b)
$$ y=x^{2} \cdot 2^{x} $$
\( u=x^{2} \)
\( u^{\prime}=2 x \)
\( v=2^x \)
\( v^{\prime}=2^{x} \cdot \ln (2) \)
\( y^{\prime}=u^{\prime} v+u \cdot v^{\prime} \)
\( y^{\prime}=2 x \cdot 2^x+x^{2} \cdot 2 x \cdot \ln (2) \)
\( y^{\prime}=2^x x(2+x \ln (2)) \)
