Herleitung der Varianz bei der Biomialverteilung

Question

Aufgabe:

Eine Frage zu der folgenden Umformung: Es geht hierbei um die Herleitung der Varianz bei der Biomialverteilung.

Schritt 1:

\( \operatorname{Var}(X)=\sum \limits_{k=0}^{n} k^{2} \cdot P(X=k)-(n p)^{2} \)

Das ist mir klar.

Schritt 2:

\( =\sum \limits_{k=0}^{n} k^{2} \cdot\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}-n^{2} p^{2} \)

Da habe ich auch verstanden, hier wurde ja nur die Wahrscheinlichkeitsfunktion eingesetzt.

Bei dem nächsten Schritt komme ich allerdings leider nicht mehr weiter.

Schritt 3:

\( = \cancel{n^{2} p^{2}} - n p^{2}+n p \cancel{- n^{2} p^{2}} \)

Könnte mir jemand vielleicht Schritt für Schritt erklären, wie man von der Summe auf n²p² - np² + np kommt? (Das -n²p² am Ende ist ja der E(X)² von Schritt 1).

Vielleicht entgeht mir hier eine wichtige Regel aus der Mathematik, aber ich komme leider nicht drauf.

Answer 1

Aloha :)

Im Folgenden nutze ich u.a. die Eigenschaft \(\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\) des Binomialkoeffizienten (1), den binomischen Lehrsatz (2) und Indexverschiebungen (3).$$\sum\limits_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$$$\stackrel{(1)}{=}\;\sum\limits_{k=1}^{n}k^2\,\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}p^k(1-p)^{n-k}$$$$\;=np\sum\limits_{k=1}^{n}k\binom{n-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$$$$\stackrel{(3)}{=}\;np\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{n-(k+1)}$$$$\;=np\sum\limits_{k=0}^{n-1}k\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}+np\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}}_{\stackrel{(2)}{=}\,(p+(1-p))^{n-1}=1}$$$$\;=np\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}+np$$$$\stackrel{(1)}{=}\;np\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\,\frac{n-1}{k}\binom{n-2}{k-1}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}+np$$$$\;=n(n-1)p\sum\limits_{k=1}^{n-1}\binom{n-2}{k-1}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}+np$$$$\stackrel{(3)}{=}\;n(n-1)p\sum\limits_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-(k+1)}+np$$$$\;=n(n-1)p^2\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}p^k(1-p)^{(n-2)-k}}_{\stackrel{(2)}{=}\,(p+(1-p))^{n-2}=1}+np$$$$\;=n^2p^2-np^2+np$$

Comments

Ich danke Ihnen wirklich vielmals für Ihre ausführliche Antwort :)

Auf diese Umformung bin ich tatsächlich auch schon gestoßen, aber ich dachte, dass es einen ''schnelleren'' Weg gibt, weil auf Wikipedia die ganzen Umformungen weggelassen wurden.

Wäre dieser Ansatz in diesem Falle die einzige Möglichkeit auf das Endergebnis zu kommen?

Ich danke vielmals :)

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Man kann auch noch über die Erzeugenden-Funktion argumentieren. Aber dafür muss man sich mit der zugehörigen Theorie befassen. Der vorgeführte Weg braucht weniger Vorwissen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitserzeugende_Funktion

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Ich danke vielmals! Dann werde ich mir mal, den von Ihnen vorgeschlagenen Weg, mir genauer anschauen :)

Answer 2

Hallo  Learner,

zu deiner Beruhigung: Das ist eine Umformung, die man nachträglich versuchen kann zu beweisen, wenn man sie vorgelegt bekommt. "Einfach mal so" draufzukommen ist nicht (jedenfalls für die meisten von uns).

Wenn mir jemand die Umformung zu n²p²-np²+np vorgelegt hätte, würde ich einen Induktionsbeweis versuchen.  Selber draufkommen? Ich hätte keine Chance.

Comments

Ich danke Ihnen vielmals, das ist tatsächlich sehr beruhigend zu hören. Ich hatte schon befürchtet, dass diese Umformung etwas ist, was man sofort erkennen sollte, aber da bin ich beruhigt, dass es nicht so ist :)