Varianz Binomialverteilung Beweis

Question

Aufgabe:

Hallo , Ich bin gerade dabei die Varianz der Binomialverteilung: n*p*(1-p) zu beweisen.

Problem/Ansatz:

Könnte mir dort wer helfen und sie mir erklären?

Comments

Das wird dir vermutlich helfen:

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Leichter: Linearität des Erwartungswerts + Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen ist Binomialverteilt.

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Danke! Linearität des Erwartungswerts war : E[aX+b]=aE[X]+b

Wie sollte dann der Beweis leichter aussehen?

Danke für das Video ,dort ist er aber sehr lang

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Der Erwartungswert einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen ist \(E(X)=p(1-p)\). Seien \(X_1,...,X_n\sim \operatorname{Ber}(p)\), dann ist \(X_1+\cdots + X_n\sim \operatorname{Bin}(n,p)\). Aus der Linearität des Erwartungswerts folgt: $$E(X_1+\cdots +X_n)=E(X_1)+\cdots + E(X_n)=n\cdot E(X_1)=np(1-p)$$

Answer 1

Aloha :)

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable \(X\) bestimmen wir zunächst \(\left<X\right>\) und \(\left<X^2\right>\):

$$\left<X\right>=\sum\limits_{k=0}^nk\cdot\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$$$$\phantom{\left<X\right>}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)\pink{\binom{n}{k+1}}p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)\pink{\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}}\,p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}$$$$\phantom{\left<X\right>}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\,p\,p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}=np\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$\phantom{\left<X\right>}=np\,(p+(1-p))^{n-1}=np$$

$$\left<X^2\right>=\sum\limits_{k=0}^nk^2\cdot\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)^2\pink{\binom{n}{k+1}}p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)^2\pink{\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}}\,p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(\green{k+1})n\binom{n-1}{k}\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\,\green k\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}\green+\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\cdot\green1\cdot\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\,k\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}+np\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\,p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=\sum\limits_{k=0}^{n-2}n\pink{\binom{n-1}{k+1}}\,(k+1)\,p^{(k+1)+1}(1-p)^{(n-1)-(k+1)}+np\,(p+(1-p))^{n-1}$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=\sum\limits_{k=0}^{n-2}n\,\pink{\frac{n-1}{k+1}\binom{n-2}{k}}\,(k+1)\,p^{k+2}(1-p)^{(n-2)-k}+np\cdot1$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=n(n-1)\,p^2\sum\limits_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}\,p^{k}(1-p)^{(n-2)-k}+np$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=n(n-1)\,p^2\cdot(p+(1-p))^{n-2}+np$$$$\phantom{\left<X^2\right>}=n(n-1)\,p^2+np$$

Damit haben wir die Varianz der binomialverteilten Zufallsvariablen \(X\) gefunden:$$\operatorname{Var(X)}=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=n(n-1)\,p^2+np-(np)^2=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2$$$$\operatorname{Var(X)}=np(1-p)$$

Comments

Aloha:) Danke!

Leider ein paar Fragen:( Erste Zeile : Wieso ist die Gleichung gleich obwohl sich das summenzeichen von k=0 auf k=1 ändert

8 Zeile: np wird vor die Summe gezogen ,aber wieso ist es dann nur p^k die einzige Sache die sich ändert und wieso p^k und nicht p^k+1?

Zeile 9, das Pinke die Umformung

Die Zeile danach n(n-1)p^2 wird vor die Summe geschoben , aber wie kommt das danach zu stande?

Vorletzte Zeile wurde dann der binomische Lehrsatz angewendet?

Und wieso wurde das Summenzeich geändert k=1, k=2,k=0?

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Der Summand für \(k=0\) ist Null. Daher können wir die Summe bei \(1\) beginnen lassen.

Das \(n\) wird vor die Summe gezogen. In der Summe steht noch \(p^{k+1}\), was wir uns als \(p^k\cdot p\) denken können. Das \(p\) wird dann ebenfalls vor die Summe gezogen, übrig bleibt unter der Summe \(p^k\).

Die pinke Umformung hattest du heute Nachmittag schon mal gefragt. Es gilt \(\binom{n}{k}=\frac nk\binom{n-1}{k-1}\). Das heißt als Merkregel. Du kannst bei einem Binomialkoeffizient den oberen und unteren Wert als Bruch rausziehen und danach die Werte im Binomialkoeffizienten um 1 vermindern. Zum Beispiel \(\binom{7}{3}=\frac73\binom{6}{2}\). Genau das wurde bei der pinken Umformung gemacht.

Das "danach" folgt aus der Anwendung des binomischen Lehrsatzes.

Die "Änderung des Summenzeichens" ist eine sogenannte Indexverschiebung. Dabei ändert man die Summationsgrenzen um einen Wert und kompensiert diese Änderung in der Laufvariablen unter der Summe.

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Danke! Super erklärt ,auch mit der Merkregel:) Wieder was verstanden:)

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Hat die Notation für den Erwartungswert eine Bedeutung?

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So haben wir das immer in den Vorlesungen zur Theoretischen Physik gemacht, speziell Quantenmechanik und Thermodynamik.

Da gibt es "bra" \(\left<x\right|\) und "ket" \(\left|y\right>\) Zustände, die man mittels Multiplikation zu einem "braket" \(\left<x\big|y\right>\) verbinden kann, um z.B. den erwarteten Zustand eines Systems zu bestimmen.