Zeigen Sie, dass das Quadrieren von Restklassen für a in Z wohldefiniert ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass das Quadrieren von Restklassen definiert durch ([a]₃)²:=[a²]₃ für a∈ ℤ wohldefiniert ist.

Problem/Ansatz:
Weiß vielleicht jemand, wie die Aufgabe zu lösen ist und kann mir helfen?

Answer 1

Du musst ja nur zeigen, dass für je zwei gleiche Restklassen  [a]₃ und [b]₃ auch

a´[a^2]3 und [b^2]3 gleich sind . Kurz: Es kommt beim Quadrieren einer

Restklasse nicht drauf an, welchen Vertreter man q uadriert.

Seien also [a]₃ = [b]₃    ==> Es gibt ein n∈ℤ mit a = b+3n

==>   a^2 = (b+3n)^2 = b^2 + 6n + 9 = b^2 + 3*(2n+3)

==> Es gibt ein k ∈ℤ (nämlich k=2n+3)  mit  a^2 = b^2 + 3k.