Stochastische Prozesse

Question

Aufgabe:

Ein Chip ist auf einee Seite mit 0 und auf der anderen mit 1 beschriftet. Er wird so lange geworfen, bis die Summe der Einzelergebnisse den Wert 2 erreicht.

b) Geben Sie die Startverteilung an und berechnen Sie die ersten vier Zustandsverteilungen.

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit braucht man höchstens vier Würfe bis zum Spielende?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zu b)

Die Startverteilung ist (1;0;0) in Vektorschreibweise. Und die ersten vier Zustandsverteilungen würde ich wie folgt angeben:

a_k+1= 0,5*a_k

b_k+1= 0,5*a_k + 0,5*b_k

c_k+1= 0,5*b_k + 1*c_k

Ist das richtig? Und könnte mir jemand verraten, wie man bei c) vorgehen muss?

Answer 1

Übergangsmatrix

M = [0.5, 0, 0; 0.5, 0.5, 0; 0, 0.5, 1]

Anfangsverteilung

v0 = [1; 0; 0]

b) Geben Sie die Startverteilung an und berechnen Sie die ersten vier Zustandsverteilungen.

v1 = [0.5, 0, 0; 0.5, 0.5, 0; 0, 0.5, 1]·[1; 0; 0] = [0.5; 0.5; 0]

v2 = [0.5, 0, 0; 0.5, 0.5, 0; 0, 0.5, 1]·[0.5; 0.5; 0] = [0.25; 0.5; 0.25]

v3 = [0.5, 0, 0; 0.5, 0.5, 0; 0, 0.5, 1]·[0.25; 0.5; 0.25] = [0.125; 0.375; 0.5]

v4 = [0.5, 0, 0; 0.5, 0.5, 0; 0, 0.5, 1]·[0.125; 0.375; 0.5] = [0.0625; 0.25; 0.6875]

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit braucht man höchstens vier Würfe bis zum Spielende?

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6875

Comments

Vielen Dank! Kannst du mir vielleicht erklären wie du auf die Zustandsverteilungen kamst? :)

---

Vielen Dank! Kannst du mir vielleicht erklären wie du auf die Zustandsverteilungen kamst? :)

Mit der Matrizenrechnung. Eigentlich solltet ihr das angesprochen haben oder nicht?

v1 = M * v0

v2 = M * v1

v3 = M * v2

v4 = M * v3

---

Das ist die Auftaktseite, ich muss mir das Ganze leider selbst beibringen. Aber trotzdem vielen lieben Dank!

---

Dann schau dir das folgende mal an

https://de.wikipedia.org/wiki/Falksches_Schema

Und betrachte den Vektor als 3x1 Matrix.

Answer 2

In maximal 4 Würfen ist man mit folgenden Zugfolgen fertig:

11 (Wahrsch. beträgt 1/4)

101 und 011  (Wahrsch. jeweils 1/8)

1001, 0101, 0011 (Wahrsch. jeweils 1/16)

Ergebnis also 1/4 + 2/8 + 3/16 = 11/16.