Stochastische Matrizen

Question

Aufgabe:

Die Telefongesellschaften A-tel, B-tel und C-tel haben den Telefonmarkt erobert und schließen Jahresverträge mit ihren Kunden ab.

Von A zu A: 0,6

Von A zu B: 0,3

Von A zu C: 0,1

Von B zu B: 0,8

Von B zu A: 0,1

Von B zu C: 01

Von C zu C: 0,7

Von C zu A: 0,1

Von C zu B: 0,2

a) Bestimmen Sie die Übergangsmatrix

b) Am Anfang hat kede Gesellschaft 1/3 aller Kunden unter Vertrag. Wie sieht die Kundenverteilung nach zwei bzw. fünf Jahren aus?

c) Wie lange dauert es, bis der Anteil von B-tel größer wird als 54,5%?

d) Jan möchte den Übergang von B nach A weglassen. Modifizieren Sie das Prozessdiagramm und untersuchen Sie, wie sich der Prozess dann entwickelt.

Ansatz:

a)

0,6; 0,1; 0,1

0,3; 0,8; 0,2

0,1; 0,1; 0,7

b) Hier würde ich die Matrix einmal hoch 2 nehmen (wegen der 2 Jahre) und dann mit dem Vektor (1/3; 1/3; 1/3) multiplizieren und das Ganze für die 5 Jahre genauso machen, nur dann eben die Matrix hoch 5 nehmen. Stimmt das so?

Bei c) und d) weiß ich absolut nicht weiter und wäre für jeden Tipp dankbar!

Answer 1

Aloha :)

zu a)

Ich komme auf dieselbe Übergangsmatrix wie du:$$A=\left(\begin{array}{r}0,6 & 0,1 & 0,1\\0,3 & 0,8 & 0,2\\0,1 & 0,1 & 0,7\end{array}\right)$$

zu b)

Alle Firmen beginnen mit \(\frac{1}{3}\) aller Kunden, \(\vec x_0=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\). Nach 2 Jahren ist der Marktanteil:$$\vec x_2=A^2\vec x_0=\left(\begin{array}{c}0,4 & 0,15 & 0,15\\0,44 & 0,69 & 0,33\\0,16 & 0,16 & 0,52\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,2\overline3\\0,48\overline6\\0,28\end{array}\right)$$Nach 5 Jahren ist der Marktanteil:$$\vec x_5=AA^2\vec x_2=\left(\begin{array}{c}0,3 & 0,175 & 0,175\\0,504 & 0,629 & 0,413\\0,196 & 0,196 & 0,412\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0,2\overline3\\0,48\overline6\\0,28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,2041\overline6\\0,53935\overline3\\0,2564842\end{array}\right)$$

zu c)

Nach 5 Jahren ist der Marktanteil von \(B\) schon bei \(53,9\%\). Wir berechnen daher

$$\vec x_6=A\vec x_5=\left(\begin{array}{r}0,6 & 0,1 & 0,1\\0,3 & 0,8 & 0,2\\0,1 & 0,1 & 0,7\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0,2041\overline6\\0,53935\overline3\\0,2564842\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,20208\overline3\\0,544028\overline6\\0,253888\end{array}\right)$$$$\vec x_7=A\vec x_6=\left(\begin{array}{r}0,6 & 0,1 & 0,1\\0,3 & 0,8 & 0,2\\0,1 & 0,1 & 0,7\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0,20208\overline3\\0,544028\overline6\\0,253888\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,201041\overline6\\0,5466255\overline3\\0,2523328\end{array}\right)$$Nach \(7\) Jahren ist der Marktanteil von \(B\) größer als \(54,5\%\).

zu d)

Wenn der Übergang von \(B\) nach \(A\) weggelassen wird, ist nicht mehr eindeutig ersichtlich, ob dieser Anteil komplett nach \(C\) wandert oder ob dieser Anteil bei \(B\) verbleibt oder eine Mischung von beiden eintritt. Daher ist mir nicht klar, wie die Übergangsmatrix zu modifizieren wäre.

Comments

Vielen vielen lieben Dank :)