Menge brechnen, Infimum

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie

$$ \inf \left\{\frac{\log (x)}{x-1} | x \in(0,1)\right\} $$

Wird das Infimum angenommen?

Kann mir jemand die allgemeine Herangehensweise zu solch einer Aufgabe erklären bzw. Was heißt es konkret das Supremum oder Infimum angenommen werden bzw. wann ist dies der Fall?

Answer 1

Hallo

 rangehen: allgemein :  1. Funktion plotten lassen! sehen ob im Inneren des Intervalls ein Min ist, die beiden Ränder untersuchen. hier bei 0 geht f->oo

 kein inneres Min funktion monoton fallend bei 1 ist f nicht definiert, also lim x-> berechnen, L'Hopital hilft  lim ist 1 also inf 1 nicht im offenen Intervall also wird nicht angenommen

Gruß lul

Comments

Hallo, mit "plotten" meinst du die erste Ableitung? Der Intervall ist ja 0<x<1 und gesucht ist ein y das ein Infimum sein kann verstehe ich das richtig? Wieso ist die Funktion bei 1 nicht definiert?

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funktion monoton fallend

Im Graph sieht man das natürlich sofort.

Mit  f '(x) = - (x·LN(x) - x + 1)/(x·(x - 1)^2)     [ < 0 in (0,1) ? ]

ist der  Nachweis aber wohl nicht ganz einfach.

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Hallo

1. nein , einfach die funktion zeichnen lassen.

2. x=1 heisst man müsste durch 0 dividieren! also bei x=1 nicht definiert, ausserdem sollst du ja auch im offenen Intervall (0,1) f untersuchen.

du suchst die kleinste untere Schranke der funktion. für x beliebig nahe an 1 ist die Schranke für y 1. aber der funktionswerte f=1 liegt nicht in (0,1) deshalb wird das inf nicht angenommen.wenn das Intervall (0,1] wäre würde das inf angenommen, wenn man f(1)=1 stetig ergänzt.

Gruß lul

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Für x-->1 ist der Funktionswert doch unendlich? Verstehe ich das richtig das der Funktionswert im Intervall liegen muss ansonsten wird das Infimum nicht angenommen?