Aloha :)
Die erste Wahrscheinlichkeit für 0 rote und 3 weißte Kugeln beschreibe ich ausführlich, die anderen werden ähnlich berechnet. Wahrscheinlichkeit ist (Anzahl der günstigen Fälle) geteilt durch (Anzahl der möglichen Fälle). Es werden von den 8 Kugeln insgesamt 3 gezogen. Dafür gibt es \(\binom{8}{3}\) mögliche Fälle. Die kommen in den Nenner. Von den 3 roten Kugeln sollen 0 gezogen werden. Dafür gibt es \(\binom{3}{0}\) günstige Fälle (nämlich die leere Menge). Von den 5 weißen Kugeln sollen 3 gezogen werden. Dafür gibt es \(\binom{5}{3}\) günstige Fälle. Das Produkt aus den günstigen Fällen kommt in den Zähler. Fertig.
$$p(0R+3W)=\frac{\binom{3}{0}\cdot\binom{5}{3}}{\binom{8}{3}}=\frac{1\cdot10}{56}=\frac{10}{56}$$$$p(1R+2W)=\frac{\binom{3}{1}\cdot\binom{5}{2}}{\binom{8}{3}}=\frac{3\cdot10}{56}=\frac{30}{56}$$$$p(2R+1W)=\frac{\binom{3}{2}\cdot\binom{5}{1}}{\binom{8}{3}}=\frac{3\cdot5}{56}=\frac{15}{56}$$$$p(0R+3W)=\frac{\binom{3}{0}\cdot\binom{5}{3}}{\binom{8}{3}}=\frac{1\cdot1}{56}=\frac{1}{56}$$Wir fassen das noch als Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen:$$\begin{array}{c} x & 0 & 1 & 2 & 3\\p(x) & \frac{10}{56} & \frac{30}{56} & \frac{15}{56} & \frac{1}{56}\end{array}$$
Für die (b) ergänzen wir die Tabelle um den Gewinn (also ausbezahlter Betrag minus 5€ Einsatz) :
$$\begin{array}{c} x & 0 & 1 & 2 & 3\\p(x) & \frac{10}{56} & \frac{30}{56} & \frac{15}{56} & \frac{1}{56}\\\text{Gewinn} & -5€ & 0€ & 5€ & 15€\end{array}$$Zur Beurteilung, ob das Spiel fair ist oder nicht, berechnen wir den Mittelwert des Gewinns:$$\langle\text{Gewinn}\rangle=\frac{10}{56}(-5€)+\frac{30}{56}(0€)+\frac{15}{56}(5€)+\frac{1}{56}(15€)=\frac{40€}{56}\approx0,71€$$Perfekt fair wäre das Spiel bei einem Mittlerwert von \(0€\). Hier hat der Spieler also einen leichten Vorteil gegenüber dem Betreiber.
