Integral ln(2x+1) dx mit partieller Integration

Question

Aufgabe:

Wenn ich bei dem Integrationsproblem ∫▒ln⁡〖(2x+1)dx 〗 zunächst u-Substitution, dann erst partielle Integration anwende, komme ich zum richtigen Ergebnis ½ (2x + 1) [ln (2x + 1) - 1]. Wenn ich jedoch gleich die partielle Integration, ohne u-Substitution, anwende, kommt etwas anderes heraus (wie folgt). Wo steckt mein Fehler?

(1) ∫ln(2x+1)⋅1dx

(2) ∫f(x)⋅g′(x)dx=f(x)⋅g(x)−∫f′(x)⋅g(x)dx

(3) f(x)=ln(2x+1) g(x)=x 
f′(x)=2/(2x+1)  g′(x)=1

(4) ∫ln(2x+1)dx = [ln(2x+1)]x − ∫2/(2x+1)⋅x dx

(5) ∫ln(2x+1)dx = x[ln(2x+1)] − ∫2x /(2x+1) dx

(6)∫ln(2x+1)dx= x[ln(2x+1)] − [x−[ln(2x+1]/2]+C

Answer 1

Hi, du hast überhaupt keinen Fehler gemacht :)

Richtiges Ergebnis = 1/2 * (2x+1) * (ln(2x+1)-1) + c = (x+1/2) * (ln(2x+1)-1) +c = x*ln(2x+1) - x + ln(2x+1)/2 - 1/2+ c = x*ln(2x+1) - (x-ln(2x+1)/2) - 1/2 + c = Ergebnis der partiellen Integration, denn - 1/2 + c ist ja einfach wieder eine Konstante c. Ob du nun c ableitest oder - 1/2+c macht keinen Unterschied :) - 1/2+c ist also genauso einfach nur irgendeine beliebige Konstante, wie es auch c ist.