Zweite Ableitung zur Bestimmung der Wendepunkte

Question

Aufgabe:

Die Gaußkurve zu den Parametern μ und δ² ist gegeben durch

\( f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \)

(Normalverteilungskurve) Erinnern Sie sich an den Punkt der Kurve, an dem die Tangente waagerecht verläuft! Berechnen Sie die beiden Wendepunkte (also beide Koordinaten dieser Punkte); dabei handelt es sich um diejenigen Punkte, an denen die zweite Ableitung ihr Vorzeichen ändert; berechnen Sie also die Nullstellen der zweiten Ableitung.

Bemerkung: Der halbe Abstand zwischen den beiden Wendepunkten ist wie groß? Man bezeichnet ihn als die halbe Breite der Glocke.

Problem/Ansatz:

Die erste Ableitung sieht ja so aus: f'(x) = \( \frac{1}{\sqrt{2μδx^{2}}} \) * \( e^{-\frac{(x-μ)^{2}}{2δ^{2}}} \) * (\({-\frac{(x-μ)^{2}}{2δ^{2}}} \)).

Ist die zweite Ableitung dann f''(x) = \( \frac{1}{\sqrt{2μδx^{2}}} \) * \( e^{-\frac{(x-μ)^{2}}{2δ^{2}}} \) * (\({-\frac{(x-μ)^{2}}{2δ^{2}}} \))\( ^{2} \)?

Und wenn ja, wie berechne ich dann die Nullstellen? Natürlich das Ganze gleich Null setzen, aber ab dann weiß ich nicht weiter, da ich ja keine weiteren Werte mehr habe.

Answer 1

Hallo

 schon dein f' ist falsch

(e^f(x) )'=e^f(x)*f'(x)

statt −(x−μ)^2/2δ^2 hast du also -2(x−μ)/2δ^2

da das ein Produkt ist musst du es nach der Produktregel differenzieren, also dein f'' ist auch nicht folgerichtig.

wenn du das richtige hast, klammer die  e-fkt aus, die nie 0 ist, den Rest 0 setzen  ergibt eine quadratische Gleichung,

Gruß lul