Vektoren und Matrizen: Betrieb stellt Stühle, Tische und Regale mithilfe von drei Maschinen M1, M2, M3 her.

Question

Aufgabe:

Ein Betrieb stellt Stühle, Tische und Regale mithilfe von drei Maschinen M1, M2, M3 her.

Die Maschinenzeiten für die Herstellung eines Möbelstücks sind:

Maschinenzeiten in Minuten

	M1	M2	M3
S = Stuhl	5	3	4
T = Tisch	15	11	20
R = Regal	30	45	50

Beantworten Sie folgende Fragen, in dem Sie zunächst geeignete Vektoren und Matrizen einführen und Matrizengleichungen aufstellen.

a) Welche Maschinenzeiten ( t_m  = (t₁  t₂  t₃) "Vektorschreibweise also untereinander") werden zur Herstellung von 20 Stühlen, 5 Tischen und 3 Regalen benötigt?

b)Die Kosten je Betriebsstunde der einzelnen Maschinen sind: k_m = (k₁ = 60), (k₂ = 120), (k₃ = 180)

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Hallo,

also logisch kann ich diese Aufgaben durch simples Addieren und Multiplizieren lösen, doch ich tue mich schwer diese Aufgaben mit Matrizengleichungen usw. zu lösen.  

z.b

ich würde nun bei a.) rechnen

Stuhl t₁   = 5 + 3 + 4 = 12Minuten  * 20 Stück  = 240 Minuten 

Tisch t₂  = 15 + 11 + 20 = 46Minuten   * 5 Stück  = 230 Minuten 

usw.

Und bei b.)

Kosten M1 = 5 + 15 + 30 = 50 Minuten = 50 Euro 

usw.

Dennoch benötige ich die Vektoren und Matrizengleichungen um die Aufgabenstellung zu erfüllen.

Answer 1

Du musst Dir die Matrizenmultiplikation klar machen

Du weißt also

>"Stuhl t1  = 5 + 3 + 4 = 12Minuten  * 20 Stück  = 240 Minuten "

wenn Du die Matrix abschreibst

\(\small M \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}5&3&4\\15&11&20\\30&45&50\\\end{array}\right)\)

und einen Stuhl produzierst

M (1,0,0) = (5,15 30)

das war nix - es wird die erste Spalte abgebildet und Du musst doch die Werte der ersten Zeile zusammen fassen ===> Matrix transponieren

\(\small M^T  =  \, \left(\begin{array}{rrr}5&15&30\\3&11&45\\4&20&50\\\end{array}\right)\)

Wenn wir jetzt einen Stuhl und einen Tisch produzieren dann

M^T (1,1,0) = (20, 14, 24)

aha, M1 20min, M2 14 min M3 24 min - passt - die Spalten werden mit den Vektorkoordinaten multipliziert und addiert- also dann

M^T (20,5,3) = (265, 250, 330)

Die Kosten schaffst Du jetzt alleine?

Answer 2

Hallo

 du multiplizierst die Matrix wie sie da steht mit dem Vektor, (senkrecht geschrieben (Stühle, Tische, Regale)=(20,5,3)

 für die  Kosten vertauschst du Zeilen und Spalten

 hallo kontrolliere kannst du so was immer mit 1Tisch=(0,1,0)  oder 2 Regal (0,0,1)

Gruß lul

Comments

Hallo,

erstmal danke für die Hilfe.

Also muss ich nun \begin{pmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 15 & 11 & 20\\  30 & 45 & 50\end{pmatrix}

mit

Kosten pro Stunde\( \begin{pmatrix} 60\\120\\180 \end{pmatrix} \) oder pro Minute\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \)multiplizieren 

oder bin ich nun ganz falsch?

Answer 3

Wenn $$M=\begin{pmatrix}5 & 3 & 4\\ 15 & 11 & 20\\ 30 & 45 & 50 \end{pmatrix}$$die Matrix der Maschinenzeiten in Minuten ist, und $$\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix}20\\5\\3\end{pmatrix}$$ der die herzustellenden Möbelstücke beschreibende Produktionsvektor ist, dann ist $$\overrightarrow{t_{m}}=\begin{pmatrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\end{pmatrix}$$der dazugehörige Vektor der Maschinenzeiten in Minuten. Der Maschinenzeitenvektor kann mit $$\overrightarrow{t_{m}}=M\cdot\overrightarrow{p}$$berechnet werden. Soweit zu Aufgabenteil a).

 

zu b): Der Vektor $$\overrightarrow{k_{m}}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}$$beschreibt die Kosten je Betriebsminute der einzelnen Maschinen. Damit lassen sich nun verschiedene Berechnungen anstellen. Was soll denn berechnet werden?

Comments

Sehe ich das richtig, dass deine Rechnung

1.ZeileM * (Produktionszahlen) ^T

also

(5 M1min/Stuhl , 3 M2min/Stuhl, 4 M3min/Stuhl) * (20 Stühle, 5 Tische, 3 Regale)^T

lautet, oder seh ich da was falsch?

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T_m = M*p würde ich vorschlagen. Oder meinst du etwas anderes?