Punkt Q gesucht der Ebene Durchstößt

Question

Aufgabe:

in welchem Punkt Q durchstößt eine Gerade g, die auf der Ebene E : x −2y +2z = 3 senkrecht steht und den Punkt

P = (6, −8, 13) enthält, die Ebene E ?

Problem/Ansatz:

Hi ich komme bei der Aufgabe nicht ganz weiter, ich habe jetzt eine gerade G aufgestellt mit G: (6,-8,13) +r(1,-2,2)

muss ich nun den Schnittpunkt von der gerade g mit E berechnen?

Comments

ja, genau das

Answer 1

muss ich nun den Schnittpunkt von der gerade g mit E berechnen?

Ja, und der ist für r=-5 erreicht.

Answer 2

Aloha :)

Die Geradengleichung hast du richtig aufgestellt:$$g:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}6\\-8\\13\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)$$Dieses \(\vec x\) setzt du nun in die Ebenengleichung ein, um \(r\) zu berechnen:

$$3=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)\cdot\vec x=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\-8\\13\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\-2\\2\end{array}\right)=48+9r$$$$\Rightarrow\quad r=-5$$Der gesuchte Durchstoßpunkt ist also \(S(1|2|3)\).

Answer 3

g: X = [6, -8, 13] + r·[1, -2, 2] = [r + 6, -2·r - 8, 2·r + 13]

In Ebene einsetzen

E: x - 2·y + 2·z = 3
(r + 6) - 2·(-2·r - 8) + 2·(2·r + 13) = 3 --> r = -5

Q = [6, -8, 13] - 5·[1, -2, 2] = [1, 2, 3]