Aloha :)
Die Füllmenge zur Zeit \(t\) ist \(f(t)\). Wir wissen, dass konstant 90 Liter Abwasser pro Minute einlaufen und dass 6% der Füllmenge kontinuierlich abfließen. Die zeitliche Ändertung \(f'(t)\) der Füllmenge ist daher:$$f'(t)=90-0,06\,f(t)$$Wir lösen zuerst die homogene Differentialgleichung:
$$\left.f_0'(t)=-0,06\,f_0(t)\quad\right|\;:f_0(t)$$$$\left.\frac{f_0'(t)}{f_0(t)}=-0,06\quad\right|\;\text{beide Seiten integrieren}$$$$\left.\ln\left|f_0(t)\right|=-0,06\,t+c_1\quad\right|\;c_1=\text{const}\;;\;e^{\cdots}$$$$\left.f_0(t)=e^{-0,06t}\cdot e^{c_1}=\underline{c_2\cdot e^{-0,06t}}\quad\right|\;c_2=\text{const}$$Jetzt variieren wir die Konstante \(c_2=c_2(t)\) und setzen \(f(t)=c_2(t)e^{-0,06t}\) oben in die inhomogene Differentialgleichung ein:$$90-0,06\,f(t)\stackrel{!}{=}f'(t)=\left(c_2(t)e^{-0,06t}\right)'=c_2\,'(t)\,e^{-0,06t}-0,06\cdot \underbrace{c_2(t)e^{-0,06t}}_{=f(t)}$$$$\Rightarrow\;\;90=c_2\,'(t)\,e^{-0,06t}\;\;\Rightarrow\;\;c_2\,'(t)=90e^{0,06t}$$$$\Rightarrow\;\;\underline{c_2(t)=\frac{90}{0,06}e^{0,06t}+c_3}\;;\;\;c_3=\text{const}$$Wir bauen die Lösung zusammen:$$f(t)=c_2\,e^{-0,06t}=\left(\frac{90}{0,06}e^{0,06t}+c_3\right)e^{-0,06t}=1500+c_3\cdot e^{-0,06t}$$Die Konstante \(c_3\) erhalten wir aus der Anfangsbedingung, dass zum Zeitpunkt \(t=0\) 400 Liter Abwasser im Becken sind:$$400\stackrel{!}{=}f(0)=1500+c_3\,e^{-0,06\cdot0}=1500+c_3\quad\Rightarrow\quad \underline{c_3=-1100}$$Zusammengefasst:$$\boxed{f(t)=1500-1100\,e^{-0,06\,t}}$$
