Begrenztes Wachstum Einatmen

Question

Hallo zusammen,

Ich habe diese Funktionen gegeben:

L₁(x)= 5-5*e^-x und L₂(x)= 4-4*e^-x

x für Zeit in s ; L(x) für Lungenvolumen in l

(es geht um eine Lungenuntersuchung bei der man vollständig ausatmen und dannach 5 Sekunden lang so tief wie möglich einatmen soll)

(1) Daran soll ich nun erklären, mithilfe der Ableitung, dass das Änderungsverhalten am Anfang am stärksten ist und umso geringer wird, je näher das Volumen an die Sättigungsgrenzen herankommt.

(2) Außerdem soll der Zeitpunkt ermittelt werden, wann die beiden Personen dieselbe Menge Luft eingeatmet haben und die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt verglichen werden.

Problem: ich weiß nicht wie ich das machen soll…

Vielen dank für jede Hilfe im Voraus !

Answer 1

1)  L₁'(x)=5*e^-x . Das hat bei x=0 (also am Anfang) den Wert 5

und da e^-x mit wachsendem x immer kleiner wird, wird die

Änderungsrate das auch.

2) Die haben zu keinem Zeitpunkt gleich viel, siehe:

~plot~ 5-5*e^(-x);4-4*e^(-x)  ~plot~

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Danke für die Antwort :)))

Answer 2

L(x) = a - a·e^(-x)

(1)

L'(x) = a·e^(-x) mit a > 0 <-- Die Funktion nimmt streng monoton von a (x = 0) asymptotisch auf 0 ab.

(2)

5 - 5·e^(-x) = 4 - 4·e^(-x) → x = 0

~plot~ 5-5*e^(-x);4-4*e^(-x);[[0|5|0|5]] ~plot~

Sie haben nur am Anfang die gleiche Menge Luft in der Lunge. Die Änderungsraten sind hier 5 l/s und 4 l/s.

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Danke für die Antwort :)))