Finden Sie zudem nachvollziehbar S; R ∈ Q[x] so, dass T = S • P + R • Q gilt.

Question

Hallo liebes Forum.

Ich hätte ein Problem bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie nachvollziehbar mithilfe des euklidischen Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler

T ∈ Q[x] der folgenden Polynome: P = x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 1 und Q = x⁴ - 1.
Finden Sie zudem nachvollziehbar S; R ∈ Q[x] so, dass T = S • P + R • Q gilt.

Ansatz:

Den ggT habe ich bereits mithilfe von Polynomdivision und euklidischen Algorithmus ermittelt. Ich schreibe kurz die Zwischenergebnisse, ohne die Polynomdivision, auf. Vll helfen diese ja für den zweiten Teil der Aufgabe.

x⁵-x⁴+x³-x²+x-1 = (x⁴-1)(x-1)+x³-x²+2x-2

x⁴-1 = (x³-x²+2x-2)(x+1)-x²+1

x³-x²+2x-2 = (-x²+1)(-x+1)+3(x-1)

-x2+1 = (x-1)(-x-1)

Wir sehen also: ggT(P,Q) = x-1

Ich habe leider keine Herangehensweise für den zweiten Teil der Aufgabe und würde mich sehr über eure Hilfe freuen.^^

Answer 1

Verwende für den 2. Teil den erweiterten euklidischen Alg.

etwa so:

https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus#Funktionsweise_am_Beispiel

Comments

Vielen Dank!

Beim Durchblick behalten und einem Vorzeichenfehler

bin ich letztendlich auf 1/3(-x²+2)(x⁵-x⁴+x³-x²+x-1) + 1/3(x³-x²-x+1)(x⁴-1) gekommen.^^

Demnach ist mein S = 1/3(-x²+2) und R = 1/3(x³-x²-x+1)?