Komplexe Zahlen in exponentieller und arithmetischer Darstellung

Question

Aufgabe:

Geben Sie die komplexen Zahlen \( z_{1}=2+2 i \) und \( z_{2}=\frac{2}{i} \) in exponentieller Darstellung an. Berechnen Sie
\( w=\frac{\overline{z_{2}}^{4}}{z_{1}^{2}} \)
und geben Sie das Ergebnis sowohl in der arithmetischen als auch in der Exponentialform an.

z1 in exponentieller Darstellung: $$\sqrt{8}*e^{i*45}$$

stimmt das?

Bei z2 bin ich mir unsicher wie ich das angehen soll, weil es ein bruch ist. Dort brauche ich hilfe und bei der berechnung von \( w=\frac{\overline{z_{2}}^{4}}{z_{1}^{2}} \)

Wie genau geht man das an?

Answer 1

z1 in exponentieller Darstellung: $$\sqrt{8}*e^{i*45}$$

stimmt das? Fast: statt 45 muss da wohl pi/4 hin (Bogenmaß).

2/i  (mit i erweitern) =  -2i =  2*e^(i*3pi/2) .

\( w=\frac{\overline{z_{2}}^{4}}{z_{1}^{2}}  =  \frac{(2i)^{4}}{(\sqrt{8}e^{i*\frac{\pi}{4}})^{2}}=  \frac{16}{8e^{i*\frac{\pi}{2}}} = 2 \cdot e^{-i*\frac{\pi}{2}} = -2i\)

Comments

Ist dann bei z2 mein Re = 0 und Im = -2 ?

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Okay, alles gut hat sich geklärt. Hab ein Video gefunden, wo erklärt wurde, was passiert wenn der Re = 0 ist.

Danke!

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Hab doch eine frage, warum ist bei w= $$(2i)^4$$

Müsste dort nicht $$2*e^{i*\frac{3}{2}\pi}$$ stehen?

Also so: \( w=\frac{\overline{z_{2}}^{4}}{z_{1}^{2}}  =  \frac{(2*e^{i*\frac{3}{2}\pi})^{4}}{(\sqrt{8}e^{i*\frac{\pi}{4}})^{2}}\)

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Du hast doch im Zähler \( \overline{z_{2}}^{4} \)

und es ist \( z_2 = -2i \) also \( \overline{z_{2}}=2i \)