Potential eines Vektorfeldes

Question

Ich hab bei folgender Aufgabe leider gar keine Idee:

Es sei $$v:R^n\Rightarrow R^n$$ ein differenzierbares, wirbelfreies Vektorfeld und $$\Phi:R^n \Rightarrow R^n$$ definiert durch $$\Phi(x):= \int\limits_{\Gamma x}<v(y),dy>$$, wobei $$\Gamma_x$$ die Verbindungsstrecke zwischen 0 und x bezeichnet. Zeigen SIe, dass $$\Gamma$$ ein Potential von v ist

Ich hätte jetzt ein $$\gamma$$ bestimmt mit $$\gamma=(t,0)$$ mit $$ t\in[0,x]$$ und dann versucht das einzusetzen und auszurechnen. Also wenn ich da Potential ableite ja nach jeder komponente muss ja v wieder rauskommen oder nicht?

Mir fehlt so ein wenig der Ansatz

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Vielen Dank

Comments

Vielleicht solltest Du zunächst darüber nachdenken, wie im \( \mathbb{R}^{n} \) die Strecke zu parametrisieren ist, die vom Nullpunkt zu einem Punkt \( x \in \mathbb{R}^{n} \) führt.

Dann solltest Du das Integral aufstellen und das Skalarprodukt komponentenweise darstellen.
Das solltest Du dann nach der, sagen wir, k-ten Variablen differenzieren ...

γ(t):=t⋅x parametrisiert die Strecke vom Nullpunkt zum Punkt x.