Liegt es ein Potential des Vektorfeldes vor?

Question

Gegeben sei das Vektorfeld \( \vec{f}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c}y z e^{x z} \\ e^{x z} \\ x y e^{x z}\end{array}\right) \) mit \( \vec{r}=(x, y, z) \). Liegt es ein Potential des Vektorfeldes vor? Ermitteln Sie gegebenfalls eine Potentialfunktion und berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{(K)} \vec{f}(\vec{x}) \cdot d \vec{s} \) mit Hilfe der Potentialfunktion, wobei die Kurve \( (K) \) durch
\( (K): x=t^{2}+1, \quad y=t^{2}-1, \quad z=t^{2}-2 t, \quad 0 \leq t \leq 2 \quad \) gegeben ist.

Answer 1

Aloha :)

Ein Vektorfeld \(\vec f\) hat genau dann ein Potential \(\Phi\), falls seine Rotation verschwindet:

$$\operatorname{rot}\vec f=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}yze^{xz}\\e^{xz}\\xye^{xz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xe^{xz}-xe^{xz}\\ye^{xz}-ye^{xz}\\ze^{xz}-ze^{xz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\checkmark$$Das Vektorfeld \(\vec f\) hat also ein Potential, das unschwer zu "erraten" ist:$$\Phi(x;y;z)=ye^{xz}$$Daher ist das Wegintegral unabhängig vom Weg, nur Start- und Endpunkt sind interessant:$$t=0\implies\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t^2+1\\t^2-1\\t^2-2t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0^2+1\\0^2-1\\0^2-2\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$$$t=2\implies\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t^2+1\\t^2-1\\t^2-2t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^2+1\\2^2-1\\2^2-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}$$

Das gesuchte Integral lautet daher:$$I=\int\limits_{K}\vec f(\vec x)\cdot d\vec x=\Phi(5;3;0)-\Phi(1;-1;0)=3e^{5\cdot0}-(-1)e^{1\cdot0}=3+1=4$$