Char. Polynom, Eigenwert für X^3+X gesucht

Question

Ich muss Eigenwerte und Eigenräume einer Matrix bestimmen. Als char. Polynom habe ich X³+X. Die Dozentin klammert ein X nochmal aus also: X(X²+1). Ich hsbe zwei Fragen: Wieso klammert sie ein X aus und wie muss ich weitermachen? Ich hatte sonst char. Polynome wo am Ende eine Zahl ohne X stand und habe dafür einfach die Teiler von dieser Zahl aufgezählt und eingefügt und geguckt, ob da 0 rauskommt, aber hier weiß ich nicht wie machen weitermachen soll. Ist hier die Zahl ohne X eine 0 und deshalb 0 einsetzen und es kommt 0 raus und deshalb ist 0 der einzige Eigenwert?

Answer 1

Hallo,

x^3 +x=0

x(x^2+1)=0

-->Satz vom Nullprodukt

x1=0

->x^2+1=0

x^2=-1

x2,3=± i

Es gibt 3 Eigenwerte 0,i ,-i

Comments

Okay dankeschön.

Also ich muss dann ja den Eigenwert in den Eigenraum einsetzen:

Die Matrix ist

A=

-2	-1	0
8	4	5
-2	1	-2

χ_A(X)=det(XI_n-A)=det

X+2	1	0
-8	X-4	-5
2	1	X+2

Ich habe 0 eingesetzt:

E(A,0)=Kern(A-0I_n)=Kern(A)

E(A,0)=Kern

2	1	0
-8	-4	-5
2	-1	2

Das habe ich auf die ZSF gebracht und bekomme raus:

2	1	0
0	0	1
0	0	0

Dann ist doch die erste Spalte mit (2,0,0) mein Kern oder nicht?

Dann bekomme ich raus (1,-2,0) oder?

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Könntest du mir bitte bei meiner neusten Frage helfen?(Drehmatrix)

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Meinst du mich? Wenn ja, tut mir leid ich verstehe die Aufgabe nicht :/ hatte solche Aet Aufgabe selbst noch nicht..

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Der Kern ist doch eine Menge von Vektoren ( hier aus R^3 ).

Und zwar alle, die beim Produkt mit der Matrix 0 ergeben.

Das sind alle Vielfachen von (1,-2,0) bzw

(1,-2,0)  ist eine Basis für den kern.

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Ja genau, das meinte ich. Also dass ich dann für den Kern (1,-2,0) raushabe :) dankeschön.

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Meinte eigentlich Grossloewe

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Achso, tut mir leid.

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Kein Problem :)

Answer 2

x^3 + x = 0

<=> x*(x^2+1)=0

Dann kannst du ja sagen:  Das Produkt ist 0  genau dann, wenn mindestens

einer der Faktoren 0 ist. Also ist eine mögliche Lösung x=0.

<=> x=0 oder x^2 +1 = 0

Also merke: Wenn man x ausklammern kann, bekommt man immer

einen Eigenwert 0.

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Vielen Dank!