Konvergenzradius bestimmen von ∑ k^k/k! * x^k

Question

∑

!

wie kann ich den konvergenzradius der Reihe

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { { k }^{ k } }{ k! } } { x }^{ k }$$

bestimmen ?

Lg marc

Comments

das löst man doch mittels quotientenkriterium oder?

Answer 1

.........................................

Answer 2

Wurzelkriterium geht auch.

$$ \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}=\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\Bigg|\frac{k^k}{k!}\cdot x^k\Bigg|}=\limsup_{k \to \infty} \frac{k}{\sqrt[k]{k!}}\cdot |x|\\\stackrel{(*)}{\leq } \limsup_{k \to \infty} \frac{k}{\sqrt[k]{\sqrt{2\cdot \pi\cdot k}\cdot \Big(\frac{k}{e}\Big)^k}}\cdot |x|\\=\limsup_{k \to \infty}\frac{k}{\sqrt[k]{\sqrt{2\cdot \pi \cdot k}}\cdot \frac{k}{e}}\cdot |x|\\=\limsup_{k \to \infty}\frac{e}{\sqrt[k]{\sqrt{2\cdot \pi \cdot k}}}\cdot |x|\\=\limsup_{k \to \infty}\frac{e}{\sqrt[2\cdot k]{2\cdot \pi \cdot k}}\cdot |x|=e\cdot |x|\stackrel{(**)}{<}1$$

(**)  Für $$ |x|<\frac{1}{e} $$ konvergent.

$$ 1<\frac{x!}{\sqrt{2\pi x}\cdot \Big(\frac{x}{e}\Big)^x} \Leftrightarrow x!>\sqrt{2\pi x}\cdot \Big(\frac{x}{e}\Big)^x\qquad (*) $$

(*) https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel