Konvergenzradius mit Leibniz bestimmen? ∑( (-2)^n / √(n) ) x^n

Question

Hey:)

∑( (-2)^n / √(n) ) x^n

Hab mit Leibniz den Konvergenzradius bestimmt.

an=1/Wurzel n <= 1/n und damit eine monoton fällende Nullfolge.

Also konvergiert die Reihe für alle x aus R. 

Passt das so?:)

Comments

Ich glaube nicht, dass diese Reihe konvergiert für x≠0. 

Was hast du mit Leibniz genau gemacht? 

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Ich hab einfach gesagt, dass 1/Wurzel n <= 1/n ist und deshalb ist es eine monoton fällende Nullfolge. Somit Leibniz erfüllt, weil es ja alternierend ist wegen (-2)^n

Answer 1

Du musst doch für den Konvergenzradius eines der Kriterien

anwenden. Hier vielleicht  Quotientenkrit. und betrachte dann

| a_n / a_n+1 |   = |  ( (-2)ⁿ / √n  )        /   ( (-2)ⁿ⁺¹ / √(n+1)  )  |

 =   | ( (-2)ⁿ  *  √(n+1)   )   /     (  √n   *   (-2)ⁿ⁺¹ )  |

=   |  √((n+1)/n)   )   /     (-2)  |   

= (1/2 )  *    √((n+1)/n)  

Das hat den Grenzwert 1/2 , also ist das der Konvergenzradius.

Comments

Müsste man hier noch die Randbereiche anschauen?:)

Also x=0.5 

lim n-> unendlich ((-2)ⁿ/√n)*(1/2)ⁿ=0

Weil (1/2)ⁿ für große n gegen 0 strebt.

Also x=-1/2

Gilt ebenfalls das Gleiche wie oben. Also konvergiert es für beide Randbereiche

Passt das so?