Konvergenzradius bestimmen ∑ ( ( 6/5)^n +3) • x^n

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe hier nicht weiter.

∑ ( ( 6/5)ⁿ   +3) • xⁿ

Wir haben nur Quotientenkriterium  und Wurzelkriterium zur Auswahl. Ich komme hier aber nicht weiter, weil ich diesen Ausdruck habe:

(6/5)ⁿ⁺¹ +3 / (6/5)ⁿ   +3 . Ich kann davon den Grenzwert nicht bestimmen. Danke

Comments

Die Formel von Cauchy Hadamard darfst Du benutzen?

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nein. hab das aber gerade eben mit l hospital hinbekommen, falls aber noch leichtere wege es gibt, höre ich mir sie gerne an bzw. lese, danke

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Tipp: zerlege in 2 Summen

Es ergeben sich zwei geometrische Reihen, für die sofort klar ist wie x gewählt werden muss um Konvergenz sicherzustellen.

Answer 1

Hier eine Lösung in "einem Stück":
Erstmal wird die Folge für das Wurzelkriterium vorbereitet.

$$ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left(\left(\frac{6}{5} \right)^n+3  \right)\left |x^n  \right |} = \left |x\right |\sqrt[n]{\left(\frac{6}{5} \right)^n \left(1+ \frac{3}{ \left(\frac{6}{5}  \right)^n }  \right) } = \frac{6}{5}\left |x\right | \sqrt[n]{1+ 3\left(\frac{5}{6}  \right)^n} $$

Dann angewendet.

$$ \frac{6}{5}\left |x\right |\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{1+ 3\left(\frac{5}{6}  \right)^n}=\frac{6}{5}\left |x\right | \\\frac{6}{5}\left |x\right | < 1 \Rightarrow |x| < \frac{5}{6} $$

Beste Grüße
gorgar