Beachte zunächst
\(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac 1{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\)
Also haben wir die Potenzreihe
\( \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n \) mit \(a_n = \frac 1{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\).
Quotientenformel gibt den Konvergenzradius
\(\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}= \frac{\sqrt{1+\frac 2n} + \sqrt{1+\frac 1n}}{\sqrt{1+\frac 1n} + 1} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1\)
\(\Rightarrow\) Konvergenzradius: \(\boxed{r=1}\)
Noch Ränder \(|x|=1\) betrachten:
\(x=-1\):
\( \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \) konvergent aufgrund Leibniz-Kriterium (alternierende Reihe mit absolut monoton fallender Gliederfolge).
\(x=1\):
\( \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \geq \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2\sqrt{n+1}} =\infty \Rightarrow\) divergent
