Konvergenzbereich einer Potenzreihe bestimmen: ∑ x^n *1/(5^n *(n+1))

Question

folgende Aufgabe :

ich hab dann ∑ xⁿ *1/(5ⁿ *(n+1)) als "Bildungsgesetz" raus und komme dann auf den Konvergenzradius 5. Stimmt das so weit ? Wenn ich dann weiter die Randbereiche untersuchen will komm ich ehrlich gesagt nicht weiter wie ich die Konvergenz oder Divergenz von den Reihen bestimmen soll. wenn ich x=-5 einsetze dann komm ich auf (-1)ⁿ /(n+1). Sieht ja aus wie die alternierende Harmonische Reihe und die Konvergiert ja. Wenn ich x=5 einsetze komme ich auf 1/(n+1). Davon die Konvergenz bzw. Divergenz zu bestimmen fällt mir gerade etwas schwer, da ich mit quotientenkriterium keine Aussage bekomme und auch mit dem Wurzelkriterium nicht.

wäre nett wenn mir hier einen helfen könnte.

Vielen dank schon mal

Answer 1

Hilft die vielleicht diese Umformung:

∑ xⁿ *1/(5ⁿ *(n+1)) = ∑ 1/(n+1) * (x/5)^n ?

Bei ∑ 1/(n+1) kannst du die harmonische Reihe zum Vergleich beiziehen:

1/(n+1) ≥ 1/(2n)   (Nullten Summanden halt einfach erst als Summand vor ∑ 1/(n+1) schreiben) 

Später noch 1/2 vor das Summenzeichen nehmen. 

Comments

also so : 1+∑_n=1 1/(n+1) ≥ 1/2*∑_n=1 1/n  ? also divergiert 1/(n+1) ? ist mein Konvergenzradius eigentlich richtig ^^ ?vielen dank

---

Bitte. Gern geschehen.

Deine Rechnungen sollten stimmen.

---

\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}\) ist bereits die harmonische Reihe ...

---

@Fakename: Danke. Da hast du auch wieder recht.

Das ist ja: 1 + 1/2 + 1/3 + ...

Answer 2

Hallo Janik,

[...]und komme dann auf den Konvergenzradius 5. Stimmt das so weit ?
Ja, das habe ich auch raus.

wenn ich x=-5 einsetze dann komm ich auf (-1)^n /(n+1).
(1/(n+1)) ist eine monoton fallende Nullfolge. Mit dem Leibnizkriterium konvergiert die Reihe.

Wenn ich x=5 einsetze komme ich auf 1/(n+1)
Es gilt fast immer 1/(n+1) > 1/2*n > 1/n, mit dem Minorantenkriterium ist die Reihe divergent.

Beste Grüße
gorgar

Comments

Büddäää!
Gern geschehen! :O