Konvergenzbereich einer Potenzreihe bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe:

$$P=1+\frac{x^{1}}{5 · 2}+\frac{x^{2}}{5^{2} · 3}+\frac{x^{3}}{5^{3} · 4}+\frac{x^{4}}{5^{4} * 5}+\cdots$$

Soweit bin ich gekommen:

Konvergenzradius berechnen: an / an+1 und diesen Radius(R) dann ein mal mit x subtrahieren und addieren um den Konvergenzbereich zu bestimmen(x-R, x+R). Nun weiß ich jedoch nicht mit welcher Potenzfunktion ich hier rechnen soll.

Wie soll ich aus der Reihe eine Funktion bauen, um den Konvergenzradius zu bestimmen?

Die Lösung ist folgende:

Konvergenzbereich

$r=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=5$

Konvergenzbereich ist $-5<x<5$

Answer 1

Wähle a_n = 1 / ( 5ⁿ * n )    und betrachte dann  a_n / a_n+1 =  5*(n+1) / n

und das geht für n gegen unendlich gegen 5.

Comments

Wäre a_n = 1 / ( 5ⁿ * (n+1) ) nicht besser?

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Jedoch verstehe ich leider nicht wie man einerseits auf 1/(5ⁿ*n) kommt und andererseits auch nicht wie man dann auf a_n / a_n +1 =  5*(n+1) / n

Stehe da auf dem Schlauch und habe so eine Aufgabe noch nie gelöst, ein wenig mehr Input wäre super! :)

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Beachte den Kommentar von Spacko !

Wenn du dir die Summanden der Reihe besiehst und willst

auf die Form  an * xⁿ kommen, dann sehen die ja so aus:

1

x¹ / ( 5*2)

x² / ( 5²*3)

x³ / ( 5³*4)

d.h.: Der Exponent bei x und der bei der 5 im Nenner,

die sind immer gleich, und der Faktor im Nenner ist immer eins

mehr als der Exponent bei der 5 und beim x, also

xⁿ / ( 5ⁿ*(n+1))

und das passt auch bei der 1, wenn du n=0 setzt.

Also a_n = 1 / ( 5n * (n+1) ) .

Und für  a_n / a_n+1 =

musst du dividieren:

1 / ( 5ⁿ * (n+1) )  durch  1 / ( 5^(n+1) * (n+2) )

das gibt [ den ersten mal Kehrwert des zweiten]

( 5^(n+1) * (n+2) )  /    ( 5^(n) * (n+1) )

jetzt 5ⁿ kürzen gibt

5 *(n+2) / (n+1) und das geht halt auch gegen 5.

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Hallo Mathef,

erstmal vielen Dank für deine genaue Erklärung, ich habe das Vorgehen jetzt gut verstanden!!

Eine einzige Sache ist mir jedoch immer noch nicht ganz klar:

"und das passt auch bei der 1, wenn du n=0 setzt.

Also an = 1 / ( 5n * (n+1) ) ."

Wenn wir a = 0 setzen kommt im Zähler 1 raus, weil x⁰ = 1 ist. So weit so gut.

Aber wieso wird die 0 nicht im Nenner eingesetzt?

und vielen Dank nochmal!!

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Doch natürlich wird die 0 auch im Nenner eingesetzt und du hast

a_o =  x⁰ /  ( 5⁰ * (0+1) )  = 1 /  ( 1 * 1 ) = 1

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ich habe meine Frage falsch formuliert. ich meinte eher:

Warum wird bei der allgemeinen Form a_n= 1 / ( 5n * (n+1) ) das xⁿ mit einer 1 ausgetauscht?

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Es heißt ja bei den Summanden einer Potenzreihe immer

a_n * xⁿ  bzw.  a_n*(x-b)ⁿ , also gehört das

xⁿ nicht mit zu dem a_n, sondern steht als Faktor dahinter

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Ach sooo, heißt das, das ich bei der allgemeinen Form den Term mit X immer "rausstreichen" darf?

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Ja, der gehört nicht zu den "a_n"