Beweise (A + B) · C = A · C + B · C

Question

Aufgabe: Gegeben seien drei quadratische Matrizen A, B, C ∈ R^n×n mit n ∈ N. Beweisen Sie, dass für diese Matrizen das Distributivgesetz (A + B) · C = A · C + B · C gilt.

Problem: Wie beweise ich das genau?

Answer 1

Aloha :)

Das Distributivgesetz gilt nicht nur für quadratische Matrizen, sondern für alle, die man miteinander multiplizieren kann. Seien daher \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times p},C\in\mathbb{R}^{n\times p}\) gegeben. Dann gilt für das Element an Position \(ik\) der Ergebnismatrix:$$[A(B+C)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B+C)_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B_{lk}+C_{lk})$$$$=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+A_{il}C_{lk}\right)=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n A_{il}C_{lk}=(AB)_{ik}+(AC)_{ik}$$

Oha, ich habe gerade gesehen, dass bei deiner Aufgabe die Klammer links steht. Dann funktioniert der Beweis genauso, nur müssen jetzt die Matrizen \(A\) und \(B\) die gleiche Größe haben. Seien daher \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{m\times n},C\in\mathbb{R}^{n\times p}\) gegeben. Dann gilt für das Element an Position \(ik\) der Ergebnismatrix:$$[(A+B)C]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n (A+B)_{il}C_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}+B_{il}\right)\cdot C_{lk}$$$$=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+A_{il}C_{lk}\right)=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n A_{il}C_{lk}=(AB)_{ik}+(AC)_{ik}$$

Answer 2

Zeige, dass die Matrizen links und rechts vom Gleichheitszeichen an jeder beliebigen

Stelle ( also allgemein an der i-ten Zeile und

j-ten Spalte) übereinstimmen.

A+B hat in  der i-ten Zeile Zeile z.B. die Werte

a_i1+b_i1  a_i2+b_i2 ………..  a_in +b_in

Das wird mit der j-ten Spalte von C multipoliziert

und so bekommst du

(a_i1+b_i1)*c_1j  + ( a_i2+b_i2) * c_2j  + ( a_in +b_in ) c_nj

entsprechend machst du es auf der rechten Seite und

wendest dann für die Matrixelemente (Das sind ja reelle

Zahlen, für die das Distributivgesetz gilt. ) das Distributivgesetz an.