Aufgabe:
Sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{Q^3} \to \mathbb{Q^3}, \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2x_1 - x_3\\ x_2 \\3x_1 - 2x_3 \end{pmatrix} \) gegeben.
Zeigen Sie, dass \( U = \lbrace{ x \in \mathbb{Q^3} \ | \ f(x) = - x \rbrace} \) ein Unterraum von \(\mathbb{Q^3} \) ist.
Ich möchte nur eine kleine Kontrolle.
Beweis:
Offensichtlich gilt \( U \subseteq \mathbb{Q^3} \)
Weiter ist \( U \neq \emptyset \), da \( f\left(\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \Longrightarrow \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \in U\)
i) Zu zeigen: \( \forall x,y \in U: x + y \in U \)
Seien \( x = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in U, \, y = \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \in U \) beliebig. Dann gilt:
\( f( x + y) = f(x) + f(y) = \begin{pmatrix} -x\\-y\\-z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a\\-b\\-c \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} x + a\\y + b\\z + c \end{pmatrix} = -(x + y) \Longrightarrow x + y \in U \)
ii) Zu zeigen: \( \forall x\in U, \forall \alpha \in \mathbb{Q}: \alpha \cdot x \in U \)
Seien \( x = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in U, \alpha \in \mathbb{Q} \) beliebig. Dann gilt:
\( f( \alpha \cdot x) = \alpha \cdot f \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \alpha \cdot \begin{pmatrix} -x\\-y\\-z \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \alpha x\\\alpha y\\\alpha z \end{pmatrix} = -(\alpha \cdot x) \Longrightarrow \alpha \cdot x \in U \)
