Was macht man im einfachsten Fall um zu zeigen, dass zwei Gruppen isomorph sind? Man gibt den Isomorphismus explizit an!
Die Struktur von \(\mathbb{Z}_4\) (Kurzschreibweise) ist relativ klar, man hat einen Erzeuger, nämlich das Element \([1]_4\), deren vier Potenzen sind genau die vier Elemente der Gruppe. Welche Rolle könnte das bei deiner Gruppe (wir nennen sie mal \(G\)) sein?
Wenn du etwas herumspielst dann wirst du schnell merken was los ist. \(1\) ist das neutrale Element von \(G\) und \(i\) ist ein Erzeuger der Gruppe. Dann nehmen wir mal als \(\varphi:\mathbb{Z}_4\to G\) denjenigen Homomorphismus, sodass \(\varphi([1]_4) = i\) gilt (davon kann es natürlich höchstens einen geben, da \([1]_4\) ein Erzeuger ist. Dann muss \(\varphi([2]_4) = \varphi([1]_4+[1]_4) = i\cdot i = -1\), und ähnlich \(\varphi([3]_4) = -i\) gelten, \(\varphi([0]_4) = 1\) ist erzwungen. Jetzt nur noch einmal prüfen dass das ein Homomorphismus ist. Offensichtlich ist er bijektiv und damit hast du deinen Iso gefunden.
