Stammfunktion F in f überführen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass F(x)= e^(0,5x)*(4x-8) eine Stammfunktion von f(x)=x/0,5*e^(0,5x) ist.

Problem/Ansatz:

ich habe abgefangen die Stammfunktion bis hierhin abzuleiten:

F‘(x)=e^(0,5x)*(4x-8)

Stimmt das so weit? An der Stelle bin ich ratlos, wie ich die Ableitung weiter in f überführe. Könnt ihr mir da helfen?

Und gibt es noch andere Methoden, mit denen man zeigen kann, dass F eine Stammfunktion von f ist?

Answer 1

Für F‘(x) musst du  die Produktregel anwenden

Aus e^(0,5x)*(4x-8)  wird dann

Ableitung von e^(0,5x) mal  (4x-8)  +  e^(0,5x) mal Ableitung von (4x-8)

= 0,5* e^(0,5x)*(4x-8)  +   e^(0,5x)*4   dann e^(0,5x) ausklammern

= e^(0,5x)*   (    0,5*(4x-8)  +  4   )

= e^(0,5x)*   (    2x- 4  +  4   )

= e^(0,5x)*   (    2x)

= e^(0,5x)*   (  x/0,5)    Passt also !

Answer 2

u=e^0,5x          u'=0,5·e^0,5x

v=4x-8           v'=4

u'v+uv'=0,5·e^0,5x·(4x-8)+e^0,5x·4=e^0,5x·(2x-4)+e^0,5x·4=e^0,5x·(2x-4+4)=e^0,5x·(2x)=x/0,5·e^0,5x.