Spur eines linearen Operators berechnen

Question

ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:

Es sei V der Raum der 2x2-Matrizen auf R und es sei M={{1,2},{3,4}}. Es seit T der lineare Operator auf V, der durch T(A)=M*A definiert ist. Geben Sie die Spur von T an.

Mein Problem ist, dass ich es hier nicht mit einem Raum über Vektoren, sondern mit einem Raum über Matrizen zu tun habe.

Kann mir vielleicht jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du den Operator \(T\) auf die kanonische Basis der 2x2-Matrizen anwendest, kannst du die Matrixdarstellung für \(T\) bezüglich der kanonischen Basis ablesen. Die Spur ist dann die Summe der Diagonalelemente dieser Matrix. Die kanonische Basis ist:$$\left\{E_1=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\;\;;\;\;E_2=\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)\;\;;\;\;E_3=\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\;\;;\;\;E_4=\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\right\}$$Auf diese Basis-Elemente lassen wir nun den Operator \(T\) wirken:$$T(E_1)=\left(\begin{array}{c}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 \\3 & 0\end{array}\right)=1\cdot E_1+0\cdot E_2+3\cdot E_3+0\cdot E_4$$$$T(E_2)=\left(\begin{array}{c}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 1 \\0 & 3\end{array}\right)=0\cdot E_1+1\cdot E_2+0\cdot E_3+3\cdot E_4$$$$T(E_3)=\left(\begin{array}{c}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 & 0 \\4 & 0\end{array}\right)=2\cdot E_1+0\cdot E_2+4\cdot E_3+0\cdot E_4$$$$T(E_4)=\left(\begin{array}{c}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 2 \\0 & 4\end{array}\right)=0\cdot E_1+2\cdot E_2+0\cdot E_3+4\cdot E_4$$Jetzt können wir die Ergebnisse als Spaltenvektoren in eine Matrix schreiben und erhalten dadurch die Matrixdarstellung von \(T\) bezüglich der kanonischen Basis:$$T=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 4 & 0\\0 & 3 & 0 & 4\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\text{Spur}(T)=10$$

Comments

Wie immer, sehr verständlich erklärt!