Aloha :)
Du sollst den Gradienten eine Funktion \(f(r)\) bestimmen, die nur vom Betrag \(r=\|\vec r\|\) des Vektors \(\vec r=(x_1;x_2;x_3)^T\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{x_i }{r}$$
Diese Rechnung gilt für jede Komponente des Gradienten. Wir setzen sie alle zusammen:$$\operatorname{grad}f(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{1}{r}\cdot\vec r=f'(r)\cdot\vec r^{\,0}$$
Da hier \(f=f(r)\) nur von einer Variablen abhängt, ist \(\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{df}{dr}=f'(r)\).
Der Vektor \(\vec r\) dividiert durch seine Länge \(r\) ist der Einheitsvektor, also \(\frac1r\,\vec r=\vec r^{\,0}\).
Bemerkung: Das \(x\) in der Aufgabenstellung ist irreführend, dort muss \(\vec r\) stehen.
