Konvergenz der Folge, falls diese Bedingung erfüllt ist

Question

Hallo, könnt ihr mir bitte helfen?

 Weisen Sie die Konvergenz der Zahlenfolge ( \( a_{n} \) ) nach, falls eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

(i) \( \left|a_{n+k}-a_{n}\right| \leq \frac{1}{n} \) für alle \( k, n \in \mathbb{N} \)

(ii) \( \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq q^{n} \) fur alle \( n \in N \) und ein feete \( q \in(0,1) \)

Answer 1

Cauchy-Kriterium ist wohl bekannt:  Da heißt es ja

Zu jedem eps>0 gibt es ein N so, dass für alle n,m > N gilt |a_m-a_n| < eps

s. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Kriterium#Kriterium

zu (i)  Sei eps > 0 . Dann gibt es ein n∈ℕ mit  1/n < eps

Und für alle m>n gibt es ein k∈ℕ mit m=n+k. Somit ist dann

|a_m-a_n| < eps    erfüllt, wenn  gilt

|a_n+k-a_n| < 1/n .

bei (ii) einsprechend, weil für ein festes  \( q \in(0,1) \)

 und  n∈ℕ immer ein n∈ℕ existiert mit  q^k < 1/n  .

( Berechne einfach k > -ln(n) / ln(k)  . Das ist positiv ! )