Berechnen der Nullstellen von z.B. f(x)= -1/4x^5 + 2,1x^3 - 3x

Question

Hallo, wir hatten bis jetzt ganz normale Gleichungen die man mit der pq Formel berechnen kann aber bei diesen Aufgaben komm ich an meine Grenzen, da irgendwie noch ein zweites Verfahren angewendet werden muss.

a.) f(x)= -1/4x^5 + 2,1x^3 - 3x

b.) f(x)=-x^5+4x^3-2x

a.) 
-1/4x^5 + 2,1x^3 - 3x | Teile -1 durch 4
1*-0.25*x^5+2.1*x^3+-3*x=0 | Klammere 1*x aus.
1*(-0.25*x^4+2.1*x^2+-3)*x=0

Weiter komm ich bei der Aufgabe schon nicht.

b.) 
f(x)=-x^5+4x^3-2x| Klammere 1*x aus.
1*(-1*x^4+4*x^2+-2)*x=0

Ein Rechenweg wäre gut, da mit ich es auch verstehe.

Vielen Dank :))

Answer 1

Aloha :)

Auch diese Aufgaben kannst du mit der pq-Formel lösen. Zuerst musst du sie dafür aber etwas umschreiben:

$$0=-\frac{1}{4}x^5+2,1x^3-3x$$$$0=-\frac{1}{4}\left(x^5-8,4x^3+12x\right)$$$$0=-\frac{1}{4}x\left(x^4-8,4x^2+12\right)$$$$0=-\frac{1}{4}x\left((x^2)^2-8,4(x^2)+12\right)$$An dem ausgeklammerten \(x\) vor der Klammer erkennen wir sofort, dass \(x=0\) eine Nullstelle ist. Den Term in der Klammer haben wir so umgeformt, dass wir die pq-Formel anwenden können. Setze dazu \(z:=x^2\). Dann wird aus der Klammer:$${\underbrace{(x^2)}_{=z}}^2-8,4\underbrace{(x^2)}_{=z}+12=z^2-8,4z+12$$Mit der pq-Formel bekommen wir 2 Lösungen für \(z\):$$z_{1,2}=4,2\pm\sqrt{(4,2)^2-12}=4,2\pm\sqrt{5,64}=\frac{21}{5}\pm\sqrt{\frac{141}{25}}=\frac{21\pm\sqrt{141}}{5}$$Weil \(z=x^2\) haben wir damit gefunden:$$x^2=\frac{21-\sqrt{141}}{5}\quad\lor\quad x^2=\frac{21+\sqrt{141}}{5}$$Das ziehen der Wurzel liefert uns zu der Lösung \(x=0\) von oben noch 4 weitere Lösungen.$$x=0\quad;\quad x=\pm\sqrt{\frac{21-\sqrt{141}}{5}}\quad;\quad x=\pm\sqrt{\frac{21+\sqrt{141}}{5}}$$Leider sind die Ergebnisse etwas krumm, was aber nicht an uns, sondern am Aufgabensteller liegt ;)

Die zweite Gleichung funktioniert ähnlich:$$0=-x^5+4x^3-2x$$$$0=-(x^5-4x^3+2x)$$$$0=-x(x^4-4x^2+2)$$Das ausgeklammerte \(x\) liefert uns wieder die Lösung \(x=0\). Auf die Klammer lassen wir wieder die pq-Formel wirken. Da wir aber nun schon Übung haben, schreiben wir das mit dem \(z\) gar nicht mehr hin:$$x^2=2\pm\sqrt{4-2}=2\pm2$$Das Ziehen der Wurzel liefert uns 4 weiter Lösungen:$$x=0\quad;\quad x=\pm\sqrt{2-\sqrt{2}}\quad;\quad x=\pm\sqrt{2+\sqrt{2}}$$

Answer 2

Substituiere \(x^2=z ; x^4=z^2\).

Answer 3

0 =-x^5+4x^3-2x| Klammere MINUS1*x aus.

0 = (-x)(x^4 + 2x^2 - 1)        | quadratisch ergänzen in Klammer rechts

0 = (0-x)(x^4 + 2x^2 + 1 - 1 - 1)      | zusätzliche Klammer

0 = (0-x)((x^4 + 2x^2 + 1) - 1 - 1)      | 1. binomische Formel (rückwärts)

0 = (0-x)((x^2 + 1)^2 - 2)     | 3. binomische Formel (rückwärts)

0 = (0-x)((x^2 + 1) + √(2))((x^2 + 1)-√(2))

0 = (0-x)((x^2 + (1 + √(2)))((x^2 - (√(2)-1)) | 3. binomische Formel (rückwärts)

0 = (0-x)((x^2 + (1 + √(2)))((x + √(√(2)-1))(x-√(√(2)-1)) 

Nullstellen "ablesen": x1 = 0, x2 = - √(√(2)-1), x3 = √(√(2)-1)

Der schwarze Faktor ist nie null, da eine positive Zahl zu einem Quadrat (nie negativ) addiert wird.