Warum muss man bei der Addition den Bruch gleichnamig machen und bei der Multiplikation nicht?

Question

ich studiere Lehramt und wie das so ist, beim lernen wie ich den Schülern Brüche am besten verständlich erkläre, ergeben sich bei mir selbst fragen.

Meine Frage: Warum muss man bei der Addition den Bruch gleichnamig machen und bei der Multiplikation  nicht?

Man weiß das so ist, aber warum eigentlich genau, kann mir das bitte jemand sagen?

Entschuldige wenn die Frage für euch unnötig erscheint, aber manchmal sind es die simplen Dinge...

Answer 1

Aloha :)

Ein Bruch hat einen "Zähler" und einen "Nenner". Der Zähler zählt, der Nenner benennt. Du kannst nur gleichnamige Dinge addieren oder subtrahieren:

    3 Äpfel + 2 Äpfel = 5 Äpfel

    3 Bananen + 2 Äpfel = ???

Dieselbe Situation liegt bei Brüchen vor:

    3 Achtel + 4 Achtel = 7 Achtel

    3 Achtel + 2 Viertel = ???

Deswegen muss man Brüche vor der Addition oder Subtraktion "gleichnamig" machen.

Bei der Multiplikation werden keine Objekte hinzugefügt oder weggenommen. Stattdessen geht es darum, einen Anteil zu bestimmen. Die Multiplikation bedeutet "von".

    4 Siebtel von 7 Äpfeln sind \(\frac{4}{7}\cdot 7\) Äpfel \(=4\) Äpfel

    4 Siebtel von 3 Vierteln sind \(\frac{4}{7}\cdot 3\) Viertel \(=\frac{12}{7}\) Viertel \(=\frac{12}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}=3\) Siebtel

Das Schöne an Brüchen im Vergleich zu realen Objekten ist, dass man sie leicht umbenennen kann, indem man sie erweitert oder kürzt.

Answer 2

Hallo,

hier eine unmathematische Antwort anhand einer Torte:

Multiplikation:

Es ist 1/2*1/3=1/(2*3)=1/6, denn wenn man eine Torte zuerst halbiert und danach drittelt, dann hat man ein Sechstel der Torte ausgeschnitten.

Addition:

1/2 +1/3 bedeutet: Man nimmt eine Hälfte einer Torte und ein Drittel. Beides kann man nicht direkt zusammenzählen, da sie unterschiedliche Größen haben. Daher zerteilt man die Hälfte in drei Teile und das Drittel in zwei Teile. Nun hat man 5 gleich große Stücke a Sechstel-Größe . Daher 1/2 + 1/3 =3/6 + 2/6 =(2+3)/6 =5/6

Keine Annung ob das hilfreich ist ;)

Answer 3

Man kann nicht Äpfel und Kieselsteine bedeutungsvoll addieren. Ebenso kann man nicht Viertel und Fünftel addieren.

Multiplikation bedeutet "von". \( \frac{1}{3} \) von \( \frac{1}{4} \) ist gleich \( \frac{1}{12} \)  (zeigen anhand eines Zifferblattes wo \( \frac{1}{3} \) von \( \frac{1}{4} \) Stunde = 5 Minuten = \( \frac{1}{12} \) Stunde).

Answer 4

Ich versuche einmal, schüler*innengerecht zu erläutern.

Addieren und Multiplizieren unterscheiden sich auch im Alltag.

Wenn ich 5 Euro und 7 Dollar addieren will, muss ich beide Angaben in eine gemeinsame Währung umrechnen. Das können z.B. Euro, Dollar oder Yen sein. Genauso kann ich 5 Sechstel und 7 Achtel nicht einfach zusammenzählen, sondern muss eine gemeinsame Währung, den Hauptnenner finden, in diesem Fall 24. Und dass bei gleichem Nenner die Zähler addiert werden müssen, verstehen Schüler*innen schnell.

Beim Multiplizieren ist es anders. Mit \(\dfrac{1}{4}\) multiplizieren heißt ja, den vierten Teil von etwas bestimmen. Und da ein Viertel von 2 Euro 50 Cent sind, muss hier die Währung nicht umgerechnet werden.

Mit  \(\dfrac{2}{5}\) multiplizieren heißt ja, durch 5 teilen und 2 Teilstücke zu nehmen. Das kann man auf ganze Zahlen oder Brüche anwenden und sieht dann, dass der Hauptnenner nicht nötig ist.