Gradient der Funktion f(x, y)=x y^2 + y e^(-x y) ausrechnen

Question

Aufgabe 1: Berechnen Sie die Gradienten der folgenden Funktion

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=x y^{2}+y e^{-x y} \)

Answer 1

Aloha :)

Du benötigst die partielle Ableitung nach \(x\) und die partielle Ableitung nach \(y\). "Partiell" ableiten bedeutet, dass du alle Variablen, nach denen du gerade nicht ableitest, als Konstanten betrachtest.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=y^2-y^2e^{-xy}=y^2(1-e^{-xy})$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=2xy+e^{-xy}-xye^{-xy}=2xy+e^{-xy}(1-xy)$$$$\text{grad}f(x,y)=\binom{y^2(1-e^{-xy})}{2xy+e^{-xy}(1-xy)}$$

Comments

Mir ist leider noch nicht so ganz klar wo bei der Ableitung nach y das e^-xy in der Mitte plötzlich herkommt in deiner Lösung.

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Der mittlere Term kommt von der Produktregel:

$$\frac{\partial}{\partial y}\left(xy^2+ye^{-xy}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(xy^2\right)+\frac{\partial}{\partial y}(\underbrace{y}_{u}\underbrace{e^{-xy}}_{v})$$$$=2xy+\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{e^{-xy}}_{v}+\underbrace{y}_{u}\cdot\underbrace{(-xe^{-xy})}_{v'}=2xy+e^{-xy}-xye^{-xy}$$