Durchschnitt von Untervektorräumen

Question

Aufgabe:

im R³  haben wir Menge U und W

U = {(2a+b,b,2a+b) | a,b aus R}

W = <(1.-2,0),(-7,1,-4)>

Problem/Ansatz:

Muss die Schnittmenge ausrechnen.

Hab jetzt 2 Lösungen. Bei einer Lösung kam ich auf den Vektoren (-3,6,0) und bei der anderen Lösung (4,5,2).
Welches ist nun richtig ? Könnt ihr mir zeigen wie ihr es machen würdet ?

Hab einfach die Vektoren von U mit W gleichgesetzt und c=3d rausbekommen und anschließend einfach in das in W eingesetzt

Bei der anderen Lösung habe ich einfach die Allgemeine Lösung von  U - W = 0 herausgefunden und sie anschließend wieder in U-W = 0 eingesetzt. Allerdings diesmal ohne den Parameter t (vektor w2) und es kam halt (-3,6,0) raus

Comments

U ist doch gar nicht in R^3 !!!

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U = {(2a+b,b,2a+b) | a,b aus R} sollte es heissen. habs korrigiert

Answer 1

(x,y,z) ist in der Schnittmenge

<=>  x=2a+b und y=b und z=2a+b und es gibt u und v aus R mit (x,y,z)=u*(1.-2,0)+v(-7,1,-4)
                                                                                                                 =(u-7v,-2u+v,-4v)

==>2a+b=u-7v und b=-2u+v und 2a+b=-4v

Gibt ein lin. Gleichungssystem

2a+b-u+7v=0
      b+2u-v=0
2a+b+4v    = 0

Die Matrix

2   1   -1   7
0   1   2    -1
2   1   0    4

in Stufenform bringen und du bekommst die Lösungen.

Comments

hab da jetzt auf beiden Seiten der Gleichung den Vektor (-6,-5,-6) rausbekommen. ist das richtig ? 
Das ging mir so auf die nerven. Hab gestern noch bis 4 Uhr morgens mir alles angeguckt :') 

Aber denke das es richtig ist, da es auf beiden Seiten durch das einsetzen der t modifizierten matrix rauskommt

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Bei der Stufenform habe ich

1  1/2    -1/2    7/2
0   1        2       -1
0    0      1       -3

also wenn man v frei wählt hat man  u =3v

also ist eine Basis für den Durchschnitt z.B.der Vektor

3*(1.-2,0)+(-7,1,-4)=(-4 ; -5 ; -4 )

Das passt auch zu (2a+b,b,2a+b)

mit a=0,5 und b=-5.

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stimmt nochmal nachgerechnet ^^ dankö mit ö