Wie zeige ich, dass die Summe a_n*x^n konvergiert?

Question

ich komme bei einer Aufgabe gerade gar nicht weiter.

Wie zeige ich, dass

∑ a_nxⁿ konvergiert für alle x ∈ ℝ mit |x| < 1 (die Summe geht dabei von n=1 bis ∞ )

 

((a_n)_n∈ℕ ist eine beschränkte Folge reeler Zahlen )

 

Hilfe wäre super! :-)

Answer 1

Zu zeigen ist, dass die Potenzreihe
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$$
für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < 1 \) konvergiert, wobei \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine beschränkte Folge ist.
Da \( (a_n) \) beschränkt ist, existiert eine Konstante \( M > 0 \), sodass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
$$|a_n| \leq M$$
Damit folgt:
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n x^n| \leq \sum_{n=1}^{\infty} M |x|^n$$
Die rechte Reihe ist eine geometrische Reihe und konvergiert für |x| < 1 mit dem Grenzwert:
$$\sum_{n=1}^{\infty} M |x|^n = M \frac{|x|}{1 - |x|}$$
Damit folgt aus dem Majorantenkriterium, dass auch die Reihe
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$$
absolut konvergiert für alle |x| < 1 und somit auch (gewöhnlich) konvergiert.