Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Aufgabe

Question

ich komme leider nicht auf die Lösung von der folgenden Aufgabe.

Aufgabe:

Von drei Spielkarten sei eine beidseitig weiß, die zweite beidseitig rot und die dritte auf einer Seite weiß und auf der anderen rot. Die Karten werden rein zufällig unter ein schwarzes Tuch gelegt und gemischt. Nach Hervorziehen einer Karte sieht man eine weiße Oberseite. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch die Unterseite weiß?

Problem/Ansatz:

Man muss hier die Bayes Formel anwenden, soviel ich weiß und die Antwort ist 2/3 (die Lösung ist mir schon bekannt), allerdings weiß ich leider nicht, welche Werte genau ich in die Bayes Formel einsetzten muss, um auf 2/3 zu kommen.

Über jegliche Hilfe bin ich sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Aloha :)

Du hast folgende Karten:$$W|W\quad R|R\quad W|R$$Die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Hervorziehen der Karte weiß zu sehen ist, lautet:$$P(W|?)=\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$$Die Wahrscheinlichkeit, dass die untere Seite der Karte auch weiß ist, nachdem bekannt ist, dass die obere Seite weiß ist, beträgt:$$P_{(W|?)}(W|W)=\frac{P(W|W)}{P(W|?)}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}$$

Answer 2

Bei diesen "Spielkarten" gibt es keine Unterscheidung zwischen Vorder- und Rückseite, wie man sie von normalen Spielkarten kennt. Das zufällige Hervorziehen einer Karte ist so zu verstehen, dass die "Nummer" (1, 2 oder 3) der gezogenen Karte genau so zufällig ist wie die sichtbare Seite (nennen wir sie A und B). Es gibt also 6 gleich wahrscheinliche Ziehungsmöglichkeiten: 1A,1B, 2A, 2B, 3A, 3B. Drei davon führen dazu, dass die sichtbare Seite ("Oberseite") weiß ist: 1A, 1B und 3A. In zwei dieser drei Fälle handelt es sich um die Karte 1 mit zwei weißen Seiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also 2/3.  

Answer 3

Kann sein ich stehe auf dem Schlauch, aber ich komme gerade weder auf Bayes noch 2/3. Denn man hat offensichtlich entweder die erste oder die dritte Karte gezogen. In einem Fall ist die Rückseite weiss, im anderen nicht.

Mit Bayes:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Vorderseite weiss, ist 3/6.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Rückseite weiss, ist 3/6.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Vorderseite weiss, wenn Rückseite weiss, ist 1/2

Die Wahrscheinlichkeit, dass Rückseite weiss, wenn Vorderseite weiss, ist \( \frac{\frac{1}{2}\frac{3}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{2}\)