Tangente durch den Ursprung

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -0.5x² + 2x  -2. Ihr Graph sei G

c) Bestimmen Sie die Punkte P∈G, deren Tangenten durch den Ursprung gehen

d) Welche Tangenten gehen durch den Punkt A(0/16)? Geben Sie ihre Gleichungen sowie die zugehörigen Berührpunkte an

Die c) ist ja so ähnlich wie d). Bei der c) verstehe nicht wie man rechnen soll.Tangente Gleichung würde dann heißen y= mx da der Urspruch (0/0) ist . Die Ableitung lautet ja f(x)= -x + 2.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Answer 1

Hi,

c) Deine Idee ist richtig wir haben

m = -x+2

außerdem wissen wir, dass die Funktionswerte ebenfalls gleich sein müssen:

-0,5x^2+2x-2 = mx

Das kann man nun lösen:

-0,5x^2+2x-2 = (-x+2)x     |+x^2-2x

0,5x^2-2 = 0

x^2 = 4

x = ±2

 

Einsetzen in die Funktion:

Damit ist P₁(-2|-8) und P₂(2|0)

 

d)

f'(x) = -x+2

Ansatz für Tangente: t(x) = mx+n

Im Berührpunkt B gilt

f'(x_B) = (y_A - f(x_B))/(x_A-x_B)

-x_B+2 = (16-(-0,5x^2+2x-2))/(0-x_B)

Das nach x_B aufgelöst ergibt sich

x_B1 = -6 und x_B2 = 6

B₁(-6|-32) und B₂(6|-8)

 

Jetzt nur noch die Tangenten bestimmen. Die Steigung f'(x) im Punkt B₁ und B₂ bestimmen und dann die Punkte einsetzen schon hat man die Tangente. Ich komme auf

t₁: y = 8x + 16

t₂: y = -4x + 16

 

Du könntest ja durch Nachrechnen oder Zeichnung bestätigen oder korrigieren, falls ich mich vertan habe ;).

Grüße

Comments

Kommt vielleicht spät aber was hast du gemacht um von 0,5x²-2=0 auf x²=0 zu kommen? Also bei der c)

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Habs, war eine dumme Frage

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Haha freut mich, wenns geklappt hat :).

Answer 2

Hallo Cheese,
1.Ableitung / Steigung bei Punkt x

   f ´( x ) = -x + 2

   Die Tangente geht durch den Ursprung. b = 0 ( y- Achsenabschnitt )
  Tangentengleichung :

   t ( x ) = ( -x + 2 ) * x

  Der Punkt P liegt sowohl auf f ( x ) als auch auf t ( x )

  f ( x ) = t ( x )

  -0.5x^2 + 2x - 2 = ( -x + 2 ) * x
  -0.5x^2 + 2x - 2 = -x^2 + 2x
   0.5x^2 - 2 = 0
   0.5*x^2 = 2
   x^2 = 4

   x = +2
   x = -2

   Die y-Werte berechnen

   y = f ( 2 )
   y = f ( -2 )

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg