Aloha :)
Du hast dich bei der Aufgabenstellung vertippt. Es muss wohl nicht \(2\sin(2x)\), sondern \(z\sin(2x)\) heißen?! Nach dieser Korrektur passt alles...
Ein Vektorfeld \(\vec F\) besitzt genau dann ein Potential \(\Phi\), wenn \(\text{rot}\vec F=\vec 0\) gilt. In Teil (a) soll das geprüft werden:$$\vec\nabla\times\vec F=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}2xy+z\sin(2x)\\x^2+z\\y+\sin^2x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-1\\\sin(2x)-2\sin x\cos x\\2x-2x\end{array}\right)=\vec 0$$Da wir nun gezeigt haben, dass es ein Potential \(\Phi\) mit \(\vec F=\text{grad}\,\Phi\) gibt, wissen wir, dass alle Wegintegrale über \(\vec F\) vom Weg zwischen Start- und Endpunkt unabhängig sind. Der Einfachheit halber wählen wir den Weg vom Urpsrung zum Punkt \((x,y,z)\) entlang der Koordinatenachsen:$$\Phi=\int\limits_{(0,0,0)}^{(x,y,z)}\vec F(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{(0,0,0)}^{(x,0,0)}\vec F(\vec r)\,d\vec r+\int\limits_{(x,0,0)}^{(x,y,0)}\vec F(\vec r)\,d\vec r+\int\limits_{(x,y,0)}^{(x,y,z)}\vec F(\vec r)\,d\vec r$$Im ersten Integral ändern sich \(y\)- und \(z\)-Koordinate nicht, daher ist \(dy=dz=0\). Im zweiten Integral ändern sich \(x\)- und \(z\)-Koordinate nicht, daher ist \(dx=dz=0\). Im dritten Integral ändern sich \(x\)- und \(y\)-Koordinate nicht, daher ist \(dx=dy=0\).
$$\Phi=\int\limits_0^xF_x(\tilde x,0,0)\,d\tilde x+\int\limits_0^yF_y(x,\tilde y,0)\,d\tilde y+\int\limits_0^zF_z(x,y,\tilde z)\,d\tilde z$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_0^x0\,d\tilde x+\int\limits_0^yx^2\,d\tilde y+\int\limits_0^z(y+\sin^2x)\,d\tilde z$$$$\phantom{\Phi}=\left[x^2\tilde y\right]_0^y+\left[(y+\sin^2x)\tilde z\right]_0^z$$$$\phantom{\Phi}=x^2y+yz+z\sin^2x$$Wir haben hier \(\vec F=\text{grad}\,\Phi\) verwendet. Es kann sein, dass ihr das Potential durch \(\vec F=-\text{grad}\,\Phi\) definiert habt. In diesem Fall musst du die Vorzeichen entsprechend wechseln.
