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b) Ist das Kraftfeld \( \vec{F}(\vec{r})=\lambda \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^{\alpha}}, \alpha \in \mathbb{R} \) konservativ? Bestimmen Sie gegebenenfalls das dazugehörige skalare Potential \( \Phi(\vec{r}) \), sodass \( \vec{F}=-\vec{\nabla} \Phi(\vec{r}) \) gilt.

Aufgabe:


Problem/Ansatz:

Mein Problem mit dieser Aufgabe ist, dass ich es einfach nicht hinkriege das richtige Integral zu finden um das Potential zu finden. Meine erste Idee war, mehrere seperate Integrale zu berechnen, da jede Komponente von F im Grund nur die partielle Ableitung der ursprünglichen Funktion ist, doch was wären hier denn die Komponenten ? (x,y,z)? Sicherlich nicht in dieser Form. Das F konservativ war ließ sich nachweisen, somit scheiter ich gerade tatsächlich nur an diesem Integral...

Ein dickes Danke an jedem der mir hier weiterhelfen könnte!

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Aloha :)

Überlege dir zunächst, wie der Gradient einer Funktion \(f(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r=|\vec r|\) des Ortsvektors \(\vec r=(x_1;x_2;\ldots;x_n)^T\) abhängt. Die \(k\)-te Komponente des Gradienten lautet mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_kf(r)=\frac{\partial f(r)}{\partial x_k}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_k}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial}{\partial x_k}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}$$$$\phantom{\operatorname{grad}_kf(r)}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{2x_k}{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{x_k}{r}=f'(r)\cdot\frac{x_k}{r}$$

Da die Funktion \(f\) nur vom Betrag \(r\) abhängt, konnten wir statt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) auch \(f'(r)\) schreiben.

Den vollständigen Gradienten können wir nun komponentenweise zusammensetzen:$$\pink{\operatorname{grad}f(r)=}\begin{pmatrix}f'(r)\cdot\frac{x_1}{r}\\\vdots\\[1ex]f'(r)\cdot\frac{x_1}{r}\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{1}{r}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{\vec r}{r}\pink{=f'(r)\cdot\vec r^0}$$Der Gradient einer Funktion, die nur vom Betrag \(r\) des Ortsvektors abhängt, ist also einfach die Ableitung der Funktion nach \(r\) multipliziert mit dem Einheitsvektor \(\vec r^0\).

Wir suchen hier ein Potential \(\Phi(\vec r)\), sodass gilt:$$\vec F(\vec r)=-\operatorname{grad}\Phi(\vec r)\quad\text{mit}\quad\vec F(\vec r)=\lambda\frac{\vec r}{|\vec r|^\alpha}=\lambda\frac{\vec r}{r^\alpha}=\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\cdot\frac{\vec r}{r}=\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\cdot\vec r^0$$Es muss also gelten:$$\operatorname{grad}\Phi(\vec r)=-\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\cdot\vec r^0$$Ein Vergleich mit der pinken Gleichung zeigt, dass das gesuchte Potential \(\Phi\) nur vom Betrag \(r\) des Ortsvektors abhängt und dass$$\Phi'(r)=-\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\quad\implies\quad\Phi(r)=\left\{\begin{array}{cl}-\lambda r & \text{für }a=1\\[1ex]-\lambda\ln(r) & \text{für }\alpha=2\\[1ex]\frac{\lambda}{(\alpha-2)r^{a-2}} &\text{sonst}\end{array}\right.$$

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Das war extrem ausführlich, danke. Ich kannte ein-zwei Einzelschritte, war aber außerstande, dass zu einem großen ganzen zusammenzusetzen.

Eine Nachfrage bleibt mir aber noch, wenn unser Potenzial nur von r abhängt, dann ist es doch so, dass r ja ebenfalls von t abhängt, sofern mir bewusst. Spielt das hier irgendeine Rolle in den Ableitungen, oder können wir r einfach als unabhängigen Vektor interpretieren (hier im Aufgabenkontext) ?

Bei der Berechnung der Kraft aus dem Potential heraus, wird die Zeit festgehalten, sonst würdest du ja deinen Standort während der Berechnung ändern. Daher kannst du die Abhängigkeit des Vektors \(\vec r\) von der Zeit \(t\) ignorieren und der Gradient enthält nur die partiellen Ableitungen nach dem Ort.

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F=1/√(x^2+y^2+z^2)α *(x,y,z)^T

damit dann die Teilintegrale, Integration nach x, die Integrationskonstante hängt von y,z ab usw.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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