Aloha :)
Überlege dir zunächst, wie der Gradient einer Funktion \(f(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r=|\vec r|\) des Ortsvektors \(\vec r=(x_1;x_2;\ldots;x_n)^T\) abhängt. Die \(k\)-te Komponente des Gradienten lautet mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_kf(r)=\frac{\partial f(r)}{\partial x_k}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_k}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial}{\partial x_k}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}$$$$\phantom{\operatorname{grad}_kf(r)}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{2x_k}{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{x_k}{r}=f'(r)\cdot\frac{x_k}{r}$$
Da die Funktion \(f\) nur vom Betrag \(r\) abhängt, konnten wir statt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) auch \(f'(r)\) schreiben.
Den vollständigen Gradienten können wir nun komponentenweise zusammensetzen:$$\pink{\operatorname{grad}f(r)=}\begin{pmatrix}f'(r)\cdot\frac{x_1}{r}\\\vdots\\[1ex]f'(r)\cdot\frac{x_1}{r}\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{1}{r}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{\vec r}{r}\pink{=f'(r)\cdot\vec r^0}$$Der Gradient einer Funktion, die nur vom Betrag \(r\) des Ortsvektors abhängt, ist also einfach die Ableitung der Funktion nach \(r\) multipliziert mit dem Einheitsvektor \(\vec r^0\).
Wir suchen hier ein Potential \(\Phi(\vec r)\), sodass gilt:$$\vec F(\vec r)=-\operatorname{grad}\Phi(\vec r)\quad\text{mit}\quad\vec F(\vec r)=\lambda\frac{\vec r}{|\vec r|^\alpha}=\lambda\frac{\vec r}{r^\alpha}=\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\cdot\frac{\vec r}{r}=\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\cdot\vec r^0$$Es muss also gelten:$$\operatorname{grad}\Phi(\vec r)=-\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\cdot\vec r^0$$Ein Vergleich mit der pinken Gleichung zeigt, dass das gesuchte Potential \(\Phi\) nur vom Betrag \(r\) des Ortsvektors abhängt und dass$$\Phi'(r)=-\frac{\lambda}{r^{\alpha-1}}\quad\implies\quad\Phi(r)=\left\{\begin{array}{cl}-\lambda r & \text{für }a=1\\[1ex]-\lambda\ln(r) & \text{für }\alpha=2\\[1ex]\frac{\lambda}{(\alpha-2)r^{a-2}} &\text{sonst}\end{array}\right.$$
