Nehmen wir eine beliebige irrationale Zahl, zum Beispiel √2 und berechnen wir zu den natürlichen Zahlen n=1, 2, 3, 4, 5, …, 20 die abgerundeten Produkte √2·n, so erhalten wir:
1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 28.
Suchen wir sodann eine Zahl x mit 1/√2+1/x=1, so erhalten wir √2+2.
Berechnen wir nun zu den natürlichen Zahlen n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 die abgerundeten Produkte (√2+2)·n, so erhalten wir:
3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27.
Die zweite Folge füllt die erste so auf, dass insgesamt die natürlichen Zahlen von 1 bis 28 erzeugt werden. Entsprechendes lässt sich auch für andere irrationale Zahlen und andere Bereiche der natürlichen Zahlen nachweisen. Das Ganze illustriert den Satz von Beatty:
Satz von Beatty: n durchlaufe die natürlichen Zahlen und sei y eine irrationale Zahl sowie x die Lösung der Gleichung 1/y+1/x=1, so ergeben die abgerundeten Produkte y·n und x·n zusammen eine disjunkte und vollständige Aufteilung aller natürlichen Zahlen.
Der Satz von Beatty nennt also eine verblüffende Eigenschaft irrationaler Zahlen. Sein Beweis wurde gemeinsam von J. Hyslop in Glasgow und A. Ostrowski in Göttingen erbracht:
Wähle n∈ℕ. Wir werden zeigen, dass es genau ein Folgenglied zwischen n und n+1 in der Vereinigungsmenge der beiden Folgen (n·x)n∈ℕ und (n·y)n∈ℕ gibt. Da n·x irrational ist, gibt es floor(n/x) Vielfache von x unterhalb n (floor bezeichnet den Abrundevorgang) und analog floor(n/y) Vielfache von y unterhalb n. Folglich liegen in beiden Folgen genau floor(n/x)+floor(n/y) Folgenglieder unterhalb von n. Es gilt:
n – 2 = n·(1/x+1/y)-2=(n/x-1)+(n/y-1) < floor(n/x)+floor(n/y) < n/x+n/y =n.
Also ist insbesondere n-2 < floor(n/x)+floor(n/y) < n.
In anderen Worten: Es gibt genau floor(n/x)+floor(n/y) = n - 1 Folgenglieder unterhalb von n.
Der gleiche Gedankengang für n+1 statt n ergibt, dass genau n Folgenglieder unter n+1 liegen. Deshalb kann es in den beiden Folgen (n·x)n∈ℕ und (n·y)n∈ℕ – wie wir zeigen wollten – nur ein Folgenglied zwischen n und n+1 geben.
