Diagonalisierbarkeit lineare Algebra

Question

Aufgabe: Sei V der von den Fuunktionen f1 = R->R, f(x)= sin x Und f2= R->R, f2= cos x, aufgespannte Unterraum des R-Vektorraums aller Funktionen von R nach R. Sei L: V->V der Ableitungsoperator, L(f) = f‘. Ist L diagonalisierbar?

Answer 1

f1 und f2 sind linear unabh., bilden also eine Basis von V

Es ist L(sin(x)) = cos(x) und L(cos(x) = - sin(x) also ist die

Matrix von L bzgl. dieser Basis

    0     -1
    1      0

und somit das char. Polynom x^2 + 1

und das hat keine reellen Nullstellen.

==>   L ist nicht diagonalisierbar.

Answer 2

Hallo,

(1,0)== sin(x)

(0,1)==cos(x) sind die Basisvektoren

Die Abbildungsmatrix bekommst du, indem du L auf die Basisvektoren anwendest.

L(1,0)=(0,1)

L(0,1)=(-1,0)

Das als Matrix aufschreiben.

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.