Diagonalisierbarkeit feststellen Lineare Algebra

Question

Aufgabe:

Oft lässt sich die Diagonalisierbarkeit einer Matrix an ihrem charakteristischen Polynom oder Minimalpolynom bereits feststellen, ohne dass bestimmte Eigenräume näher betrachtet werden müssen.

Wählen Sie unter den folgenden Aussagen jene aus, die wahr sind.

Beachten Sie, dass als Grundkörper jeweils die reellen Zahlen angenommen werden; unter Diagonalisierbarkeit ist also Diagonalisierbarkeit über R gemeint.

1. Jede reelle Matrix mit Minimalpolynom X^3+X ist diagonalisierbar.
2. Jede reelle Matrix mit charakteristischem Polynom X^3+X^2−X−1 ist diagonalisierbar.
3. Jede reelle Matrix mit Minimalpolynom X^3−X ist diagonalisierbar.
4. Jede reelle Matrix mit charakteristischem Polynom (X−sqrt(2))(X−sqrt(3))(X−sqrt(5)) ist diagonalisierbar.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

\(A\in \mathbb{R}^{n\times n}\) ist diagonalisierbar genau dann, wenn:

(a) das Minimalpolynom \(m_A(\lambda)\) über \(\mathbb{R}\) vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

(b) Das charakteristische Polynom \(\chi _A(\lambda)\) über \(\mathbb{R}\) vollständig in Linearfaktoren zerfällt und die geometrische Vielfachheit der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert \(\lambda_i\in \mathbb{R}\) übereinstimmt.

Zusatz:

Ist \(\lambda\) ein Eigenwert der Matrix \(A\), so ist die geometrische Vielfachheit von \(\lambda\) zwar größer gleich \(1\), aber stets kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit

(1) Nein, nach (a)

(2) Nicht im Allgemeinen nach (b)

(3) Ja, nach (a)

(4) Ja, nach (b) + Zusatz